Anfang der Taylorreihe

26.01.2016, 13:03

janus7576

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Anfang der Taylorreihe

Meine Frage:
Ich hab folgende Aufgabe (Erstes Bild).

Meine Ideen:
Ich wollte die Aufgabe mit den folgenden zwei Taylorreihen vom Sinus X [erstes Bild] und 1/(2k+1) [zweites Bild] lösen. Wollte die zwei Reihen multiplizieren, kam aber nicht auf die Musterlösung... was mache ich falsch?

26.01.2016, 13:06

janus7576

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RE: Anfang der Taylorreihe
Sorry, das erste Bild ist die Aufgabe, das zweite die Sinus-Taylorreihe und das dritte dementsprechend die 1/2+x Taylorreihe.

26.01.2016, 13:08

IfindU

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RE: Anfang der Taylorreihe
Die zweite Formel ist falsch. Das $\begin{eqnarray*} \frac x 2 \end{eqnarray*}$ bracht noch ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ als Exponent. Würde sonst auch praktisch nie konvergieren.

26.01.2016, 13:10

HAL 9000

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Falls du die Absicht hattest, beim dritten Bild die Potenzreihenentwicklung des Faktors $\begin{align*} \frac{1}{2+x} \end{align*}$ hinzuschreiben, die lautet aber

$\begin{align*} \frac{1}{2+x} = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-\left(-\frac{x}{2}\right)} = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left( \frac{x}{2}\right)^n \end{align*}$

(bei dir fehlt Exponent $\begin{align*} n \end{align*}$ ). Diese Potenzreihe musst du mit der vom Sinus multiplizieren (Cauchy-Produkt). Was du da wie verkehrt machst, können wir dir erst sagen, wenn du den Fortgang der entsprechenden Rechnung hier präsentierst - bisher sehe ich da nichts.

26.01.2016, 13:17

janus7575

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Cauchy Produkt
Genau dieses schein ich aber nicht zu verstehen, gibt es da nicht eine einfachere Variante? Das kann man ja kaum von Hand rechnen... zudem habe ich es so gemacht, dass ich einfach die beiden Reihen betrachtet habe und das erste Glied bei beiden ausgerechnet habe, und dann diese multipliziert habe, wieso geht das nicht?

26.01.2016, 13:22

janus7576

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Das angehängte Bild bezieht sich auf die Musterlösung, nicht auf meine Variante.

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26.01.2016, 13:25

HAL 9000

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RE: Cauchy Produkt

Zitat:

Original von janus7575
Das kann man ja kaum von Hand rechnen...

Klar geht das - gefordert ist bis Ordnung 5, das erfordert nun wirklich keine "übermenschlichen" Anstrengungen.

Zitat:

Original von janus7575
zudem habe ich es so gemacht, dass ich einfach die beiden Reihen betrachtet habe und das erste Glied bei beiden ausgerechnet habe, und dann diese multipliziert habe, wieso geht das nicht?

Das geht doch, damit hast du das erste Glied der gesuchten Entwicklung - aber der Rest fehlt natürlich noch.

26.01.2016, 13:30

janus7576

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Das funktioniert beim ersten Glied, aber ab dem zweiten wird es ganz komisch, wenn ich dort 1 für n bzw. k einsetze und das multipliziere kriege:

x hoch 4 durch 24.

Die Musterlösung sagt aber -0.25x Quadrat

26.01.2016, 13:36

HAL 9000

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Stop, du preschst ein wenig schnell vor. Wir waren doch erst bei der Berechnung von $\begin{align*} c_1 \end{align*}$ , also $\begin{align*} n=1 \end{align*}$ , da ergab sich

$\begin{align*} c_1 = a_0b_1 + a_1b_0 = a_0b_1 = \frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{1}{2} \end{align*}$ (die geraden Indizes bei der $\begin{align*} b \end{align*}$ -Folge fallen weg wegen $\begin{align*} b_{2k}=0 \end{align*}$ ) .

Als nächstes dran ist $\begin{align*} c_2 = a_1b_1 \end{align*}$ , danach $\begin{align*} c_3 = a_0b_3+a_2b_1 \end{align*}$ usw.

26.01.2016, 13:42

janus7576

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Ich verstehe nicht, was es mit a und b auf sich hat, ich habe 0, 1, 2, 3, 4, 5 in die zwei Taylorreihen eingegeben.

26.01.2016, 13:48

HAL 9000

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Die $\begin{align*} a_k \end{align*}$ und $\begin{align*} b_l \end{align*}$ hast DU mit deinem Scan oben doch eingeführt: Das sind nichts weiter als die Koeffizienten der beiden Potenzreihen von $\begin{align*} \frac{1}{2+x} \end{align*}$ und $\begin{align*} \sin(x) \end{align*}$ . Irgendwie muss man dem Kind ja einen Namen geben, wenn man konkret und zweifelsfrei drüber sprechen will.

Eine Beschreibung wie

Zitat:

Original von janus7576
ich habe 0, 1, 2, 3, 4, 5 in die zwei Taylorreihen eingegeben.

ist jedenfalls für mich das genaue Gegenteil von "konkret und zweifelsfrei": Unklar und in höchstem Maße fehldeutbar. unglücklich

unglücklich

26.01.2016, 14:00

janus7576

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Die verstehe ich ja gerade nicht, das sind die Musterlösungen.

26.01.2016, 14:14

HAL 9000

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$\begin{align*} \frac{1}{2+x} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \left( \frac{x}{2}\right)^k \end{align*}$ bedeutet nichts anderes als

$\begin{align*} \frac{1}{2+x} = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \end{align*}$ mit Koeffizient $\begin{align*} a_k = \frac{(-1)^k}{2^{k+1}} \end{align*}$ .

Ist es der Übergang von der oberen zur unteren Darstellung, den du nicht begreifst?

--------------------

Oder ist es die Sinusreihe $\begin{align*} \sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} \end{align*}$ ?

Wenn wir die als $\begin{align*} \sin(x) = \sum_{l=0}^{\infty} b_l x^l \end{align*}$ schreiben wollen, sehen wir als erstes, dass $\begin{align*} b_l=0 \end{align*}$ für gerade Indizes ist, weil Potenzen mit geraden Exponenten in der Entwicklung nicht auftauchen. Für ungerade $\begin{align*} l=2n+1 \end{align*}$ , also $\begin{align*} n=\frac{l-1}{2} \end{align*}$ , ist hingegen $\begin{align*} b_l = \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} = \frac{(-1)^{\frac{l-1}{2}}}{l!} \end{align*}$ .

Diese Koeffizientenformeln sind im Scan nochmal gerafft dargestellt, und warum? Weil man sie direkt in der Cauchyprodukt-Koeffizientenformel $\begin{align*} c_n = \sum_{k+l=n} a_kb_l = \sum_{k=0}^n a_kb_{n-k} \end{align*}$ so benötigt.

26.01.2016, 14:44

janus7576

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Ja genau den verstehe ich nicht.

Weisst du was, ich probiere es ohne Cauchy zu lernen, es ist mir zu blöd. Irgendwie kann man das ja auch mit differenzieren machen, was vermutlich einfacher ist.

26.01.2016, 14:49

HAL 9000

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Man mag die eine oder andere Darstellung bevorzugen - manch einer kann sich das nötige vielleicht bereits aus einer Darstellung wie

$\begin{align*} f(x) = \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{8}x^2-\frac{1}{16}x^3+\frac{1}{32}x^4+O(x^5)\right)\cdot \left(x-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5+O(x^7)\right) \end{align*}$

zusammenklauben - letzten Endes vollführt man aber doch immer wieder die Cauchyproduktformel (zusammensuchen der Gliederprodukte, die bei vorgegeben $\begin{align*} n \end{align*}$ zu $\begin{align*} x^k\cdot x^l = x^n \end{align*}$ gehören, und Summation dieser Produkte als neuer $\begin{align*} f \end{align*}$ -Koeffizient von $\begin{align*} x^n \end{align*}$ ).

Zitat:

Original von janus7576
Irgendwie kann man das ja auch mit differenzieren machen, was vermutlich einfacher ist.

Ja natürlich, du kannst von $\begin{align*} \frac{\sin(x)}{2+x} \end{align*}$ die ersten fünf Ableitungen berechnen und dann einfach die Taylorreihe berechnen. Viel Spaß bei diesem Weg, der ja so viel einfacher ist. Big Laugh

Big Laugh

26.01.2016, 15:18

janus7576

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traurig

traurig

traurig

traurig

traurig

traurig

traurig

Hab's gerade gemerkt, dann halt doch Cauchy. Mist

26.01.2016, 15:34

HAL 9000

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Bleiben wir doch bei dem zuletzt von mir skizzierten Weg

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{align*} f(x) = \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{8}x^2-\frac{1}{16}x^3+\frac{1}{32}x^4+O(x^5)\right)\cdot \left(x-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5+O(x^7)\right) \end{align*}$

vielleicht kannst du dich ja wenigstens mit dem anfreunden. Hier muss man dann nur noch "intelligent" ausmultiplizieren - mit "intelligent" meine ich dabei, dass wir ja nur die Potenzen bis $\begin{align*} x^5 \end{align*}$ brauchen, alle höheren nicht (die verschwinden im Landau-Symbol $\begin{align*} O(x^6) \end{align*}$ ). Das ergibt

$\begin{align*} f(x) = x\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{8}x^2-\frac{1}{16}x^3+\frac{1}{32}x^4\right)-\frac{1}{6}x^3\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{8}x^2\right)+\frac{1}{120}x^5\left(\frac{1}{2}\right)+O(x^6) \end{align*}$ .

Ist letzten Endes auch Cauchy-Produkt, aber ohne den Formalismus mit den $\begin{align*} a_k,b_l,c_n \end{align*}$ , der dir offenbar schwer zu schaffen macht.

26.01.2016, 16:41

janus7576

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Ganz einfach und blöde Frage, wieso kann ich nicht einfach die zwei Taylorreihen nehmen und jeweils die Glieder einfügen und dann einzeln multiplizieren? Das sollte doch das gleiche Resultat geben, wieso tut es das nicht?

26.01.2016, 16:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von janus7576
Ganz einfach und blöde Frage, wieso kann ich nicht einfach die zwei Taylorreihen nehmen und jeweils die Glieder einfügen und dann einzeln multiplizieren?

Ich hätte jetzt eigentlich gesagt: Genau das meinte ich doch mit meinem letzten Vorschlag. Aber dein

Zitat:

Original von janus7576
wieso tut es das nicht?

sagt mir, dass du mit "einzeln multiplizieren" was anderes meinst - hoffentlich nicht gerade solchen Unfug wie

$\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n \cdot \sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n \stackrel{???}{=} \sum_{n=0}^{\infty} a_nb_nx^n \end{align*}$ ,

der auch schon mal von einem (anderen) Fragesteller vorgeschlagen wurde.

Wie auch immer, du scheinst keine Lust zu haben, auch nur auf irgend einen meiner vielen Vorschläge mal nicht mit totaler Ablehnung zu reagieren. Da ist dann auch meine Geduld mal am Ende - Tschüss. Wink

Wink

27.01.2016, 09:49

janus7576

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Das Problem nicht, dass ich deine Lösungsansätze nicht probiert habe, sondern, dass deine Lösungsansätze auf einer Lösung basiert, die ich grundsätzlich nicht verstehe. Da hilft es mir leider wenig, die einzelnen Schritte im mikroskopischen Bereich auszuleuchten, wenn es bereits im makroskopischen Bereich Schwierigkeiten gibt. Deshalb habe ich ja um einen einfacheren Lösungsansatz gebeten.

Aber egal, ich werde schon irgendwie auf eine andere Art kommen dies zu lösen - jedenfalls hoffe ich das.

Vielen Dank trotzdem.

27.01.2016, 10:02

HAL 9000

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Wenn du selbst die nur noch einen Schritt von der Lösung entfernte Darstellung

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{align*} f(x) = x\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{8}x^2-\frac{1}{16}x^3+\frac{1}{32}x^4\right)-\frac{1}{6}x^3\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{8}x^2\right)+\frac{1}{120}x^5\left(\frac{1}{2}\right)+O(x^6) \end{align*}$ .

verständnislos ignorierst, dann weiß ich sowieso beim besten Willen nicht mehr, wie dir zu helfen ist. Insofern ist mein Handtuchwerfen im letzten Beitrag purer Ratlosigkeit geschuldet.

27.01.2016, 10:15

janus7576

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Du setzt in die Taylorformel 1/2x+1 für n 0-5 ein und das ist dann das erste Produkt. Dann die zweite Taylorformel und das geht glücklicherweise bis zur 5. Ordnung. Aber dann haben wir 1. nur ein Produkt, aber noch keine Reihe 2. Zwar die 5. Ordnung in diesem Beispiel, aber wenn es jetzt zum Beispiel heissen würde bis zur vierten Ordnung ein Problem...

Sry ich weiss ich nerve...

27.01.2016, 10:19

HAL 9000

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@andere Helfer

Kann mal bitte einer übernehmen. Ich hab einfach keinen Draht zum Fragesteller.

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