Reelle Integrale (Residuensatz?)

27.01.2016, 01:30	Xardes	Auf diesen Beitrag antworten »
Reelle Integrale (Residuensatz?) Hallo, weiter geht es mit der Klausurvorbereitung. Bei dieser Aufgabe soll ich nun reelle Integrale berechnen. Die Ergebnisse hab ich wieder bereits gegeben, aber der Weg dahin ist mir unklar. Ich nehme mal an, ich soll wieder mit den Residuenkalkül an die Aufgabe rangehen, was man ja auch bei reellen Integralen gebrauchen kann. zu a) Ich scheitere daran, das Integral in eine Form zu bringen, auf die ich das Residuenkalkül sinnvoll anwenden kann. zu b) Das Integral hat zwar die passenden Form R(x)*cos(x) und keine Pole auf der reellen Achse, aber die Nullstellen im Nenner lieger halt auf der reellen Achse (wenn es auch hebbare Singularitäten sind). Wie geht man denn hier vor? [attach]40677[/attach] (Den Hauptwert hatten wir noch nicht, ich habe mir den durchgelesen, aber weiß nicht, inwiefern der nützlich ist) Xardes
27.01.2016, 10:59	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei b) überlegt man sich zunächst, daß die Nullstellen $\begin{align} \pm \frac{\pi}{2} \end{align}$ im Nenner von erster Ordnung sind. Da auch der Cosinus an diesen Stellen Null wird, läßt sich der Integrand stetig ergänzen. Die beiden Stellen sind also unproblematisch, was die Konvergenz angeht. Die Konvergenz bezüglich der unteren und oberen Grenze ist auch gesichert, denn der reelle Cosinus ist beschränkt und der Nenner ist von der Ordnung 2. Lösen läßt sich diese Aufgabe durch Integration von $\begin{align} f(z) = \frac{\operatorname{e}^{\operatorname{i}z}}{4z^2 - \pi^2} \end{align}$ über den im Bild gezeigten Weg. Dabei ist $\begin{align} R>\frac{\pi}{2} \end{align}$ und $\begin{align} \varepsilon>0 \end{align}$ genügend klein. Nach dem Cauchyschen Integralsatz hat das Integral den Wert $\begin{align} 0 \end{align}$ . [attach]40680[/attach] Vielleicht die wichtigsten Schritte, die du nachweisen mußt: $\begin{align} \int_{\gamma_2} \frac{\operatorname{e}^{\operatorname{i}z}}{4z^2 - \pi^2} ~ \dd z = - \int_0^{\pi} \frac{\operatorname{e}^{\varepsilon \operatorname{i} \operatorname{e}^{\operatorname{i}t}}}{4 \left( - \pi + \varepsilon \operatorname{e}^{\operatorname{i}t} \right)} ~ \dd t \to \frac{1}{4} \ \mbox{für} \ \varepsilon \to 0 \end{align}$ $\begin{align} \int_{\gamma_4} \frac{\operatorname{e}^{\operatorname{i}z}}{4z^2 - \pi^2} ~ \dd z = \int_0^{\pi} \frac{\operatorname{e}^{\varepsilon \operatorname{i} \operatorname{e}^{\operatorname{i}t}}}{4 \left( \pi + \varepsilon \operatorname{e}^{\operatorname{i}t} \right)} ~ \dd t \to \frac{1}{4} \ \mbox{für} \ \varepsilon \to 0 \end{align}$ $\begin{align} \int_{\gamma_6} \frac{\operatorname{e}^{\operatorname{i}z}}{4z^2 - \pi^2} ~ \dd z = \int_0^{\pi} \frac{\operatorname{e}^{\operatorname{i}R \operatorname{e}^{\operatorname{i}t}}}{4 \left( R \operatorname{e}^{\operatorname{i}t} \right)^2 - \pi^2} \operatorname{i} R \operatorname{e}^{\operatorname{i}t} ~ \dd t \to 0 \ \mbox{für} \ R \to \infty \end{align}$ Bei den ersten beiden ziehst du den Limes unters Integral. Auch das letzte ist nicht so schwer, wie es aussieht. Es genügt nämlich, unter dem Integral zum Betrag überzugehen, da man ja die Konvergenz gegen Null zeigen will. Da einige Faktoren den Betrag 1 haben, wird das gleich viel einfacher. Den Nenner kann man dann mit Hilfe der umgekehrten Dreiecksungleichung nach unten abschätzen. Und im Zähler muß man noch $\begin{align} \operatorname{e}^{-R \sin t} \end{align}$ geeignet abschätzen. In der Gleichung $\begin{align} 0 = \int_{\gamma_1} f(z) ~ \dd z + \int_{\gamma_2} f(z) ~ \dd z + \int_{\gamma_3} f(z) ~ \dd z + \int_{\gamma_4} f(z) ~ \dd z + \int_{\gamma_5} f(z) ~ \dd z + \int_{\gamma_6} f(z) ~ \dd z \end{align}$ geht man dann zunächst zum Realteil über und führt anschließend den Grenzübergang $\begin{align} \varepsilon \to 0 \end{align}$ und $\begin{align} R \to \infty \end{align}$ durch. Bei Aufgabe a) könnte man den Integrationsbereich auf das Intervall $\begin{align} [-\pi,\pi] \end{align}$ ausdehnen und den Integralwert halbieren, was wegen der Geradheit des Integranden geht. Besser ist es wohl, den quadrierten Sinus und Cosinus durch bekannte Formeln mit dem verdoppelten Argument zu ersetzen und das doppelte Argument zu substituieren. Dann hat man $\begin{align} [0,2\pi] \end{align}$ als Integrationsintervall und kann den bekannten Algorithmus für diesen Integraltyp verwenden.
03.02.2016, 04:11	Xardes	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schön, für die Antwort. Ich komme bei der a) nicht so ganz weiter, wenn ich es versuche, wie du vorschlägst: $\begin{eqnarray} <br /> & \int_{0}^{\pi} \! \frac{cos^2(x)}{1 + sin^2(x)} \, dx<br /> &= \int_{0}^{\pi} \! \frac{\frac{1 + cos(2x)}{2}}{\frac{3 - cos(2x)}{2}} \, dx<br /> &= \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \! \frac{1 + cos(x)}{3 - cos(x)} \, dx<br /> &= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \pi (\sum\limits_{a \in K_1(0)} Res_a(\frac{1}{z} \cdot \frac{1 + 0.5(z+\frac{1}{z})}{3 - 0.5(z+\frac{1}{z})} ) ) <br /> \end{eqnarray}$ Als Werte für 'a' bekomme ich dann 0 und $\begin{eqnarray} 3-2\cdot \sqrt{2} \end{eqnarray}$ ? Ist das bis hier hin korrekt?
03.02.2016, 09:12	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe keine Fehler. Zur Kontrolle die Residuen: $\begin{align} a_1 = -1 \end{align}$ und $\begin{align} a_2 = \sqrt{2} \end{align}$ Es gibt wohl viele Möglichkeiten, das Integral zu berechnen. Man kann auch $\begin{align} \frac{\cos^2 x}{1 + \sin^2 x} = \frac{1}{1 + 2 \tan^2 x} \end{align}$ schreiben (bei $\begin{align} x = \frac{\pi}{2} \end{align}$ stetig durch $\begin{align} 0 \end{align}$ zu ergänzen). Wegen der Symmetrie des Integranden bezüglich $\begin{align} x = \frac{\pi}{2} \end{align}$ gilt dann $\begin{align} \int_0^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1 + \sin^2 x} ~ \dd x = 2 \cdot \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1 + 2 \tan^2 x} ~ \dd x \end{align}$ Mit der Substitution $\begin{align} u = \tan x \end{align}$ folgt $\begin{align} \int_0^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1 + \sin^2 x} ~ \dd x = 2 \cdot \int_0^{\infty} \frac{\dd u}{\left( u^2 + 1 \right) \left( 2u^2 + 1 \right)} = 2 \int_0^{\infty} \left( \frac{2}{2u^2 + 1} - \frac{1}{u^2 + 1} \right) ~ \dd u \end{align}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »