Konvergenz empirischer Mittelwerte

27.01.2016, 23:02	Linda1712	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz empirischer Mittelwerte Meine Frage: Ein sechsseitiger fairer Würfel werde n mal geworfen und es bezeichne Sn die Anzahl der dabei geworfenen Einsen. a) Zeigen Sie, dass die relative Anzahl Sn/n der geworfenen Einsen fast sicher für n --> $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ gegen 1/6 konvergiert. b)Zeigen Sie,dass es zu jedem $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ >0 ein N $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ N gibt,so dass für alle n $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ N $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ mit Wahrscheinlichkeit von mindestens 0.99 die relative Anzahl Sn/n um nicht mehr als $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ von 1/6 abweicht. c) Bestimmen Sie ein geeignetes N $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Guten Abend, kann mir jemand bei dieser Aufgabe behilflich sein? Ich bin für jede Hilfe dankbar
27.01.2016, 23:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} S_n \end{align}$ unterliegt einer Binomialverteilung - versuche, die zugehörigen Parameter dieser Binomialverteilung herauszubekommen (nicht rechnen - nur nachdenken). Und dann: a) (Starkes) Gesetz der großen Zahlen b) Tschebyscheffsche Ungleichung
27.01.2016, 23:31	Linda1712	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke HAL 9000, das hat mir vom Verständnis etwas geholfen. Aber ich komme noch nicht ganz voran.. Zuerst kann ich mir einen einzelnen Wurf simulieren. Da jeder Wurf nicht vom Wurf vorher abhängt bietet sich der Produktraum an. die Anzahl der Würfe geht gegen unendlich... Dann müsste ich mir noch ZV definieren, die sagen, ob im i-ten Wurf eine 6 kommt? a)Okay hier müsste ich dann also die Vorraussetzungen des Gesetzes der großen Zahlen prüfen? Wie definiere ich denn mein Sn? b) Also kann ich hier mit der Tschebyscheffsche Ungleichung die gesuchte WK abschätzen mit einem Term der von n abhängt. und dann das n ausrechnende man weiß das mit WK 0,99 was bestimmtes eintreten soll oder? Aber wie genau mach ich das?
27.01.2016, 23:37	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu a) Es ist einfach $\begin{align} S_n=\sum_{k=1}^n X_k \end{align}$ die Summe der unabhängigen Indikatorzufallsgrößen $\begin{align} X_k = \begin{cases} 1 &\;\mbox{falls im $k$-ten Wurf eine Eins fällt}\\ 0 &\;\mbox{sonst}\end{cases} \end{align}$ .

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