Richtungsableitung und komplexe Funktion

29.01.2016, 08:41

Serdengecti

Richtungsableitung und komplexe Funktion

Hallo Leute,

ich habe 2 Fragen:

1. Die Aufgabe lautet:

Welche komplexen Zahlen z erfüllen die Gleichung: $\begin{eqnarray*} |z|^2 + 2* Re(z)=3 \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} z=a+b*i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |z|=\sqrt[2]{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$

somit fällt $\begin{eqnarray*} |z|^2 \end{eqnarray*}$ durch den Exponenten das Wurzelzeichen und dort steht:

$\begin{eqnarray*} a^2+b^2+2*a=3 \end{eqnarray*}$

b auf die andere Seite und a ausklammer, dann steht da: $\begin{eqnarray*} a(a+2)=3-b^2 \end{eqnarray*}$

meine Lösung wäre die Gleichung ist dann erfüllt, wenn $\begin{eqnarray*} a=3-b^2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a+2=3-b^2 \end{eqnarray*}$

ist das richtig?

2. Die Aufgabe lautet:

In welcher Richtung ist die Richtungsableitung der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y)=ln(x^2+y^2) \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} P=(\sqrt{6}, \sqrt{-2}) \end{eqnarray*}$ gleich 0?

Hierzu habe ich erstmal den Gradienten ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} {Gradient (f(x,y)}= \left( \begin{array}{c}2x/(x^2+y^2)\\2y/(x^2+y^2)\\\end{array} \right) \end{eqnarray*}$

Wie könnte ich weitermachen?

29.01.2016, 09:15

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Richtungsableitung und komplexe Funktion

Zitat:

Original von Serdengecti
meine Lösung wäre die Gleichung ist dann erfüllt, wenn $\begin{eqnarray*} a=3-b^2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a+2=3-b^2 \end{eqnarray*}$

ist das richtig?

Das ist - gelinde gesagt - Unfug. Für $\begin{eqnarray*} a=3-b^2 \end{eqnarray*}$ müßte gleichzeitig a+2=1 und für $\begin{eqnarray*} a+2=3-b^2 \end{eqnarray*}$ müßte a=1 sein. Im Grunde ist das eine quadratische Gleichung, die du mit den üblichen Methoden nach a oder - was etwas leichter ist - nach b auflösen kannst.

Zitat:

Original von Serdengecti
Wie könnte ich weitermachen?

Du könntest mal die Koordinaten des Punktes P einsetzen. Augenzwinkern

29.01.2016, 10:14

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei 1) denke mal eher an die Kreisgleichung: Eine quadratische Ergänzung führt unmittelbar zu $\begin{align*} (a+1)^2 + b^2 = 4 \end{align*}$ , zurück mit $\begin{align*} z \end{align*}$ geschrieben $\begin{align*} |z+1| = 2 \end{align*}$ , also alle komplexen Zahlen auf dem Kreis mit Radius 2 um Mittelpunkt $\begin{align*} z_0=-1 \end{align*}$

29.01.2016, 10:21

Serdengecti

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Richtungsableitung und komplexe Funktion
1.

Natürlich, für " $\begin{eqnarray*} a=3-b^2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a+2=3-b^2 \end{eqnarray*}$ müsste ja quasi $\begin{eqnarray*} a=a+2 \end{eqnarray*}$ sein und das kann ja nicht sein.

Also ich hole etwas aus:

$\begin{eqnarray*} a^2+b^2+2*a=3 \end{eqnarray*}$

a ausklammern

$\begin{eqnarray*} b^2+a(a+2)=3 \end{eqnarray*}$

a(a+2) rüberbringen

$\begin{eqnarray*} b^2=3-a(a+2) \end{eqnarray*}$

radizieren

$\begin{eqnarray*} b1=\sqrt{3-a(a+2)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b2=-\sqrt{3-a(a+2)} \end{eqnarray*}$

Das war es schon??

2.

Also für eine Richtungsableitung ist ja definiert durch:

$\begin{eqnarray*} 1/|r|* Gradient(eingesetzte Werte)*r \end{eqnarray*}$

wobei r der Richtungsvektor ist.

Ich setze mal die Werte in den Gradienten ein:

$\begin{eqnarray*} f(\sqrt{6},\sqrt{-2})=\begin{Bmatrix} (2\sqrt{6})/4 \\ (2\sqrt{-2})/4 \end{Bmatrix} \end{eqnarray*}$

29.01.2016, 10:31

Serdengecti

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Bei 1) denke mal eher an die Kreisgleichung: Eine quadratische Ergänzung führt unmittelbar zu $\begin{align*} (a+1)^2 + b^2 = 4 \end{align*}$ , zurück mit $\begin{align*} z \end{align*}$ geschrieben $\begin{align*} |z+1| = 2 \end{align*}$ , also alle komplexen Zahlen auf dem Kreis mit Radius 2 um Mittelpunkt $\begin{align*} z_0=-1 \end{align*}$

Warum folgt aus $\begin{align*} (a+1)^2 + b^2 = 4 \end{align*}$

$\begin{align*} |z+1| = 2 \end{align*}$ ??

Und wie bestimmt man den Mittelpunkt des Kreises?

29.01.2016, 10:43

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zur ersten Frage: $\begin{align*} z+1 = (a+1) + bi \end{align*}$ , also ist $\begin{align*} |z+1|^2 = (a+1)^2+b^2 \end{align*}$ , ganz normale Betragsdefintion einer komplexen Zahl.

Und zur zweiten Frage: $\begin{align*} |z-z_0|=r \end{align*}$ bei gegebenen $\begin{align*} z_0,r \end{align*}$ beschreibt alle komplexen Zahlen $\begin{align*} z \end{align*}$ , die von einer gegebenen Zahl $\begin{align*} z_0 \end{align*}$ in der komplexen Zahlenebene genau den Abstand $\begin{align*} r \end{align*}$ haben. Es sollte dir eigentlich geläufig sein, dass das der geometrischen Definition eines Kreises mit Radius $\begin{align*} r \end{align*}$ um den Mittelpunkt $\begin{align*} z_0 \end{align*}$ entspricht.

Und hier ist eben $\begin{align*} |z-(-1)|=2 \end{align*}$ , also $\begin{align*} z_0=-1 \end{align*}$ und $\begin{align*} r=2 \end{align*}$ .

P.S.: Ein Fragezeichen hätte bei derart grundlegenden Sachverhalten gereicht. Augenzwinkern

EDIT: Zu Problem 2) Du suchst einen Richtungsvektor $\begin{align*} \vec{r} \end{align*}$ , der senkrecht auf dem Gradienten steht. Na das sollte im zweidimensionalen doch kein Problem sein, ich sage nur $\begin{align*} \begin{pmatrix} u\\ v\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} v\\ -u\end{pmatrix} = 0 \end{align*}$ .

29.01.2016, 10:58

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Richtungsableitung und komplexe Funktion

Zitat:

Original von Serdengecti
2. Die Aufgabe lautet:

In welcher Richtung ist die Richtungsableitung der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y)=ln(x^2+y^2) \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} P=(\sqrt{6}, \sqrt{-2}) \end{eqnarray*}$ gleich 0?

Was ich leider übersehen habe: soll f eine Funktion von R² --> R sein? Dazu paßt nicht so recht die imaginäre (und dann auch nicht eindeutige) y-Komponente des Punktes P. verwirrt

29.01.2016, 11:03

Serdengecti

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Richtungsableitung und komplexe Funktion
Ich entschuldige mich das Minuszeichen muss vor dem Wurzelzeichen stehen.....

29.01.2016, 11:03

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist mir auch eben erst aufgefallen. Ich vermute einen Schreibfehler, d.h., $\begin{align*} -\sqrt{2} \end{align*}$ .

Auch im wirklich komplexen Fall würde man eher nicht $\begin{align*} \sqrt{-2} \end{align*}$ schreiben, da nicht zweifelsfrei klar ist, ob nun $\begin{align*} \sqrt{2}i \end{align*}$ oder $\begin{align*} -\sqrt{2}i \end{align*}$ gemeint ist. unglücklich

29.01.2016, 11:07

Serdengecti

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000

EDIT: Zu Problem 2) Du suchst einen Richtungsvektor $\begin{align*} \vec{r} \end{align*}$ , der senkrecht auf dem Gradienten steht. Na das sollte im zweidimensionalen doch kein Problem sein, ich sage nur $\begin{align*} \begin{pmatrix} u\\ v\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} v\\ -u\end{pmatrix} = 0 \end{align*}$ .

Also das Vektorprodukt mit dem Gradienten multiplizieren und nach 0 auflösen?

29.01.2016, 11:14

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Wo siehst du hier ein Vektorprodukt, d.h. $\begin{align*} \vec{a}\times \vec{b} \end{align*}$ mit welchen $\begin{align*} \vec{a},\vec{b} \end{align*}$ ? verwirrt

Alles was ich sagen wollte: Du hast einen Gradienten mit den Komponenten $\begin{align*} u,v \end{align*}$ , dann kannst du damit ganz leicht einen dazu senkrechten Vektor $\begin{align*} \vec{r} \end{align*}$ basteln, schlicht aus den Komponenten $\begin{align*} v,-u \end{align*}$ !

29.01.2016, 11:49

Serdengecti

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Richtungsableitung und komplexe Funktion
$\begin{eqnarray*} f(\sqrt{6},-\sqrt{2})=\begin{Bmatrix} (2\sqrt{6})/4 \\ (2-\sqrt{2})/4 \end{Bmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{c}u\\v\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}(2\sqrt{6})/4 \\(2-\sqrt{2})/4 \end{array} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{c}v\\-u\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}(2-\sqrt{2})/4 \\-(2\sqrt{6})/4 \end{array} \right) \end{eqnarray*}$

Das Untere ist mein Ergebnis?

29.01.2016, 12:10

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie passt

Zitat:

Original von Serdengecti
$\begin{eqnarray*} f(\sqrt{6},-\sqrt{2})=\begin{Bmatrix} (2\sqrt{6})/4 \\ (2-\sqrt{2})/4 \end{Bmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Serdengecti
$\begin{eqnarray*} {Gradient (f(x,y)}= \left( \begin{array}{c}2x/(x^2+y^2)\\2y/(x^2+y^2)\\\end{array} \right) \end{eqnarray*}$

Ich ahne schon, wie: Aus $\begin{align*} y=-\sqrt{2} \end{align*}$ machst du $\begin{align*} 2y = 2-\sqrt{2} \end{align*}$ . Finger1

Richtig ist: $\begin{align*} 2y = 2(-\sqrt{2}) = -2\sqrt{2} \end{align*}$ .

Aber bei der Rechnung im Nenner scheint ja auch noch was schiefgegangen zu sein. unglücklich

Neue Frage »

Antworten »

Richtungsableitung und komplexe Funktion

Verwandte Themen