Ebene, die senkrecht zur Geraden G steht und den Punkt P enthält

29.01.2016, 11:49

OnFirE88

Ebene, die senkrecht zur Geraden G steht und den Punkt P enthält

Hallo Mathe-Freunde,

gegeben sei $\begin{eqnarray*} G_{0} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \frac{x+1}{3} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{y-1}{2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{z+1}{3} \end{eqnarray*}$ und der Punkt $\begin{eqnarray*} P_{0} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} ( 1 | 2 | -2) \end{eqnarray*}$

Teilaufgabe a ) Bestimmen Sie die Ebene,die senkrecht zu $\begin{eqnarray*} G_{0} \end{eqnarray*}$ steht und $\begin{eqnarray*} P_{0} \end{eqnarray*}$ enthält.

Teilaufgabe b ) Die Koordinaten des Schnittpunktes $\begin{eqnarray*} P' \end{eqnarray*}$ zwischen $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G_{0} \end{eqnarray*}$ .

Ich glaube so in etwa zu Wissen wie ich Teil a berechnen kann.

Die Ebene würde folgendermaßen entstehen => $\begin{eqnarray*} E : \vec{n}*\vec{x} = \vec{n}*P_{0} \end{eqnarray*}$

Allerdings hackt es bei mir grade aus $\begin{eqnarray*} G_{0} \end{eqnarray*}$ den Normalvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ zu berechnen da das eine komplett unttypische art von Geradengleichung ist.

Ob mir jemand bei der Berechnung des Normalvektors behilflich seien könnte?

vielen Dank im vorraus!

29.01.2016, 12:04

mYthos

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RE: Ebene, die senkrecht zur Geraden G steht und den Punkt P enthält

Zitat:

Original von OnFirE88
...
da das eine komplett unttypische art von Geradengleichung ist.
...

Das ist es allerdings!
Es sind (zwei) Ebenengleichungen, deren Schnitt diese Gerade ist.
Versuche daraus eine Parametergleichung der Geraden zu gewinnen!

mY+

29.01.2016, 12:10

Bjoern1982

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Zitat:

da das eine komplett unttypische art von Geradengleichung ist.

Geht mir ähnlich.
Für eine Gerade in "bewährter" Parameterform brauchst du jedoch nach wie vor nur 2 Punkte.
Von daher wäre mein alternativer Gedanke, sich einfach zwei solcher Punkte zu überlegen (das geht eigentlich recht schnell), welche diese "Dreier-Gleichung" lösen und mit denen man dann kurz den (wichtigen) Richtungsvektor der Geraden bilden kann.
Ein Punkt geht z.B. ruck zuck, indem man sich überlegt, wann jeder Term einzeln Null wird.
Naja gut und einen zweiten Punkt gäbe es dann eben, wenn man sich überlegt, wann jeder Term den Wert 1 hat.

29.01.2016, 15:54

OnFirE88

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ich hänge echt schon sehr lange daran, aber komme nicht auf die Parametergleichung, könntest du mir einen Tipp geben wie ich diese aufstellen kann?

ich hab sowas versucht wie

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{x+1}{3} \\ \frac{y-1}{2} \\ \frac{z+1}{3}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,wovon ich irgendwie auf sowas zu kommen "versucht" habe...

x = 3x-1
y = 2y+1
z = 3z-1

warscheinlich ist das sogar ziemlicher mist...

29.01.2016, 22:22

mYthos

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RE: Ebene, die senkrecht zur Geraden G steht und den Punkt P enthält
Ja, leider, vergiss das Ganze sofort wieder.
Rufe dir nochmals in Erinnerung, was im ersten Beitrag gestanden ist:

Zitat:

...
Nun ja, es sind (zwei) Ebenengleichungen, deren Schnitt diese Gerade ist.
Versuche daraus eine Parametergleichung der Geraden zu gewinnen!

Und bitte, die Rechtschreibung ist auch nicht ganz unwichtig:

.. es hakt
.. im Voraus

EDIT:
Infolge des heutigen stundenlangen Serverausfalls des Matheboards ist in den Beiträgen etwas durcheinandergeraten.
Ich hatte den ersten Beitrag editiert und dennoch sind dann daraus zwei entstanden, der zweite wurde erst jetzt aus dem Cache gesendet.

Wie dem auch sei, und wie ich dir auch schon geschrieben hatte, lassen sich aus dem Gleichsetzen der drei Terme die Gleichungen zweier (unabhängiger) Ebenen gewinnen:

(1) 2x + 2 = 3y - 3
(2) 3y - 3 = 2z + 2
---------------------------
(1) 2x - 3y + 0z = -5
(2) 0x + 3y - 2z = -5

Nun eröffnen sich zwei Alternativen:
Entweder erstelle daraus eine Parameterdarstellung der Geraden, setze dazu z.B. $\begin{eqnarray*} y = 2t \end{eqnarray*}$ und berechne damit x und z, die Koeffizienten bei $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ bezeichnen den Richtungsvektor der Geraden.
Oder erstelle den Geradenvektor als Vektorprodukt der Normalvektoren (2; -3; 0) und (0; 3; -2) der beiden Ebenen.
In beiden Fällen solltest du (3; 2; 3) als Richtungsvektor der Geraden erhalten.

Wenn du dann so weit bist, kommst du mit dem Rest der Aufgabe alleine weiter?

mY+

30.01.2016, 12:22

OnFirE88

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RE: Ebene, die senkrecht zur Geraden G steht und den Punkt P enthält
Danke schon mal soweit,

ich habe das versucht umzusetzten, was du mir geraten hast und bin dabei auf folgendes gekommen :

2x -6t = -5 nach x umformen mit y = 2t -> $\begin{eqnarray*} x = 3t-\frac{5}{2} \end{eqnarray*}$

6t -2z = 5 nach z umformen mit y = 2t -> $\begin{eqnarray*} z = -\frac{5}{2}+3t \end{eqnarray*}$

die Parametrischegleichung der Geraden g müsste also soweit wie folgt aussehen :

$\begin{eqnarray*} g : \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{5}{2} \\ 0 \\ -\frac{5}{2} \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ 2\\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} E : \vec{n}*\vec{x} = \vec{n}*P_{0} \end{eqnarray*}$ berechne, komme ich auf :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3\\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

3x+2y+3z = -3+4-6

3x+2y+3z = -5 , leider soll aber wohl 3x+2y+3z = -2 rauskommen

(wobei ich faiererweise sagen muss, dass meine Dozentin sehr häufig Fehler macht in den Lösungen)

Unabhängig davon habe ich mit der Lösung der Dozentin weiter gemacht um den Schnittpunkt auszurechnen.

In die Variablen der Ebene
$\begin{eqnarray*} E : 3x + 2y + 3z + 2 = 0 \end{eqnarray*}$

setzte ich die jeweiligen Werte für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ aus der Geradengleichung ein

$\begin{eqnarray*} E : 3(-\frac{5}{2} + 3\lambda ) +2(2\lambda) +3 (-\frac{5}{2} + 3\lambda ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{15}{2} + 9\lambda +4\lambda -\frac{15}{2} +\lambda = -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{30}{2} +22\lambda = -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{13}{22} \end{eqnarray*}$

dann habe ich das in der Geradengleichung eingesetzt :

$\begin{eqnarray*} -\frac{5}{2} +3\frac{13}{22} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} 0 + 2\frac{13}{22} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} -\frac{5}{2} +3\frac{13}{22} \end{eqnarray*}$

Mein Ergebnis für S ist somit :

$\begin{eqnarray*} S = (-\frac{18}{11} | \frac{13}{11} | -\frac{18}{11} ) \end{eqnarray*}$ allerdings gibt es wieder einen Unterschied zur Lösung meiner Dozentin $\begin{eqnarray*} S = (-\frac{18}{11} | -\frac{13}{11} | -\frac{18}{11} ) \end{eqnarray*}$

Ich habe versucht soviele Zwischenschritte wie möglich anzugeben (sorry für längeren Post), damit man ohne viel nachzurechnen eventuelle Fehler schnell sehen kann, ich hoffe ihr könnt mir nochmal sagen wo meine Fehler liegen in dieser Rechnung.

mit freundlichen Grüßen
Yavuz

30.01.2016, 13:24

mYthos

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RE: Ebene, die senkrecht zur Geraden G steht und den Punkt P enthält
Wieder verhinderte der stundenlange Serverausfall des Matheboards eine zeitnähere Antwort!

Zitat:

Original von OnFirE88
...
wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} E : \vec{n}*\vec{x} = \vec{n}*P_{0} \end{eqnarray*}$ berechne, komme ich auf :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3\\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

3x+2y+3z = -3+4-6

3x+2y+3z = -5 , leider soll aber wohl 3x+2y+3z = -2 rauskommen
...

Weder das eine noch das andere stimmt! Rechts steht nach dem Einsetzen $\begin{eqnarray*} 3 + 4 - 6 \end{eqnarray*}$ und dies ist wohl $\begin{eqnarray*} \color{red}1 \end{eqnarray*}$

Rechne also mit der Ebene $\begin{eqnarray*} 3x + 2y + 3z = 1 \end{eqnarray*}$ weiter.

In deiner Rechnung ist ausserdem noch ein weiterer Rechenfehler:

Zitat:

Original von OnFirE88
...
In die Variablen der Ebene
$\begin{eqnarray*} E : 3x + 2y + 3z + 2 = 0 \end{eqnarray*}$

setzte ich die jeweiligen Werte für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ aus der Geradengleichung ein

$\begin{eqnarray*} E : 3(-\frac{5}{2} + 3\lambda ) +2(2\lambda) +3 (-\frac{5}{2} + 3\lambda ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{15}{2} + 9\lambda +4\lambda -\frac{15}{2} +\lambda = -2 \end{eqnarray*}$
...

Die letzte Klammer hast du falsch ausmultipliziert, immerhin ist $\begin{eqnarray*} 3 \cdot 3 \lambda = 9 \lambda \end{eqnarray*}$ (!)

Rechnest du mit der richtigen Ebenengleichung $\begin{eqnarray*} 3x + 2y + 3z = 1 \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} \lambda = - \frac{17}{22} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S(-\frac 7 {22}; \frac{16}{11}; -\frac 7 {22})<br /> \end{eqnarray*}$

Woher die -2 bei der Dozentin kommen sollen, kann höchstens an einem Angabefehler liegen, offensichtlich sind die x- und y-Werte des Punktes P0 vertauscht (?)

mY+

30.01.2016, 13:55

OnFirE88

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das war sehr hilfreich, vielen Dank!

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