Insektenpopulation - Übergangsmatrix

29.01.2016, 22:23

Mae97

Insektenpopulation - Übergangsmatrix

Ich soll die folgende Aufgabe machen:
Eine Insektenpopulation entwickelt sich nach folgenden Modell. Ein Insekt legt kurz vor seinem Tod so viele Eier, dass sich hieraus im nächsten Jahr 20 Larven entwickeln. 10% dieser Larven überleben das erste Jahr, im zweiten Jahr verpuppen sich 50% und werden schließlich zum Insekt

a) Geben sie die Übergangsmatrix an, berechnen sie U2 und U3 und beschreiben sie wie sich die Population langfristig entwickelt.

$\begin{eqnarray*} U=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 20 \\ 0,1 & 0 & 0 \\ 0 & 0,5 & 0 \end{pmatrix} U2=\begin{pmatrix} 0& 10 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0,5 & 0 & 0 \end{pmatrix} U3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich bei b) Probleme.

DIe Population besteht anfangs aus 400 Larven und je 200 verpuppten Larven und Insekten. Geben Sie an, in welchem Bereich die Anzahl der Insekten schwankt.

Es sollen die Zahlen 200, 100 und 20 rauskommen.

Ich komme aber auf die Werte:
$\begin{eqnarray*} U*\begin{pmatrix} 400\\ 200 \\ 200 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4000\\ 40\\ 100 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U2* \begin{pmatrix} 4000\\ 40\\ 100 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 400\\ 200\\ 200 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U3*\begin{pmatrix} 400\\ 200\\ 200 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 400\\ 200 \\ 200 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und der Zirklus beginnt von neuem. Wie kommt man bitte auf die Zahlen 200, 100 und 20???

30.01.2016, 07:10

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} U2* \begin{pmatrix} 4000\\ 40\\ 100 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 400\\ 200\\ 200 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} U^2 \end{eqnarray*}$ bestimmt man Verteilungen, die zwei Jahre später folgen.
Daher bestimmst du mit der oben zitierten Rechnung, ausgehend von der Verteilung nach einem Jahr, dann folglich direkt die Verteilung nach drei Jahren.
Die Verteilung nach 2 Jahren steht da somit noch nirgendwo.

Entweder multiplizierst du also jeweils dein U,U² und U³ mit der Anfangsverteilung oder du benutzt nur die Matrix U, welche dir die Verteilung nach stets einem Jahr ausspuckt:

$\begin{eqnarray*} U \cdot \vec{v_0} =\vec{v_1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U \cdot \vec{v_1} =\vec{v_2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U \cdot \vec{v_2} =\vec{v_3} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Und der Zirklus beginnt von neuem. Wie kommt man bitte auf die Zahlen 200, 100 und 20???

Es heißt Zyklus, nicht Zirklus.
200 und 100 siehst du bei dir ja bereits, es geht ja um die möglichen Insektenzahlen, also die Zahlen in der jeweiligen dritten Komponente der Vektoren.
Die 20 wirst du dann auch noch sehen, wenn das oben Erwähnte mit einbeziehst.

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