Pivotelemente einfügen

29.01.2016, 23:38	Nastee	Auf diesen Beitrag antworten »
Pivotelemente einfügen Hallo leute ich hätte mal eine kurze Frage bezüglich eines verfahren. Undzwar wurde uns gesagt, dass wir um den Kern einer Matrix zu bestimmen, die Matrix auf Treppennormalform bringen und für Nullzeilen einfach -1 stellen einfügen können. (warum das geht weiss ich ehrlich gesagt nicht). Die Spalten mit eingefügten Pivotelementen ist dann eine Lösung des Kerns. Generell funktioniert das auch. Nun hatten wir folgende Aufgabe auf dem ersten Übungsblatt: Sei $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ -2 & -2 & -2 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Bestimme die Menge aller Fixpunkte. Das ganze kann man ja relativ einfach über den eigenraum zum Eigenwert eins lösen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ -2 & -2 & -2 & -4 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Paramterisierung ergibt: $\begin{eqnarray} Ker(A)=<\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix} > \end{eqnarray}$ . Meine eigentliche Frage ist, kann ich das Verfahren hier auch anwenden? Immerhin krieg ich die Matrix garnicht auf treppennormalform. Nach einfügen der -1 hätte ich: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Dann wäre: $\begin{eqnarray} Kern(A)=<\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} > \end{eqnarray}$ . Wenn ich oben eine andere Parametarisierung wähle, bekomme ich dies ebenfalls heraus. ich frag mich jedoch, ob das nur zufällig hinhaut oder ob ich es hier auch machen darf, selbst wenn ich die Matrix nicht auf Treppennormalform bringen kann. Ich hoffe jemand versteht mein Problem. Mfg. Nastee
30.01.2016, 08:22	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1&1&0&2\\0&0&1&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist in Treppennormalform. Die Normalform ist eben nicht für jede Matrix eine "schöne" obere Dreiecksmatrix - genauer ist sie das nur, wenn die Matrix vollen Rang hat. Insofern hat das Verfahren hier durchaus seine Berechtigung Lg kgV

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