Kreisteilungskörper

30.01.2016, 10:17

eni2208

Kreisteilungskörper

Hallo,
ich möchte zeigen, dass für ungerade n gilt $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_{n} =\mathbb Q_{2n} \end{eqnarray*}$

Also müsste ich eine doppelte Mengeninklusion zeigen, dabei ist klar, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_{n} \subseteq \mathbb Q_{2n} \end{eqnarray*}$ gilt. Also fehlt noch die andere Richtung. Sei w primitive 2n-te Einheitswurzel aber keine n-te Einheitswurzel. w ist dann Nullstelle des Polynoms $\begin{eqnarray*} t^{2n}-1=(t^n-1)(t^n+1) \end{eqnarray*}$ . Dann ist w Nullstelle von $\begin{eqnarray*} t^n+1 \end{eqnarray*}$ . An der Stelle komme ich leider nicht mehr weiter, irgendwie müsste ja noch eingehen, dass n ungerade ist. Jemand eine Idee?

30.01.2016, 11:29

tatmas

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Hi,

verwende $\begin{eqnarray*} [\mathbb Q_n : \mathbb Q ] =\varphi (n) \end{eqnarray*}$

30.01.2016, 13:11

eni2208

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Die Euler Funktion haben wir offiziell nicht gehabt :/

30.01.2016, 13:22

tatmas

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Wie habt ihr dann offiziell oder inoffiziell Kreisteilungskörper eingeführt?

30.01.2016, 13:22

ollie3

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Hallo,
ich hätte eine andere Idee:
Wenn n gerade ist, dann kann man t^n -1 weiter zerlegen in (t^(n/2)+1)(t^(n/2)-1), sonst
nicht. Dann ueberleg mal weiter... Augenzwinkern

gruss ollie3

30.01.2016, 13:25

tatmas

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@ollie3:
T^n-1 hat immer die Nullstelle 1, ist also immer reduzibel.
Daher bringt deine Zerlegung gar nichts.
Wenn dann müsstest du dich - wie der TE bereits richtig erkannt hat - mit t^n+1 beschäftigen.

30.01.2016, 14:19

eni2208

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Eingeführt haben wir die Kreisteilungskörper gar nicht. In einer anderen Aufgabe sollen wir die Teilkörper von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_{12} \end{eqnarray*}$ bestimmen, ich hatte über Darstellung $\begin{eqnarray*} e^{\frac{2ik\pi}{n}} \end{eqnarray*}$ angefangen, auch das darf ich leider nicht traurig

30.01.2016, 14:55

tatmas

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Aber irgendwie müsst ihr ja $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_n \end{eqnarray*}$ definiert haben.

30.01.2016, 15:17

eni2208

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Sei K ein Körper, $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .Die einfachste Gleichung n-ten Grades über K ist vom Typ
$\begin{eqnarray*} x^{n} =a \end{eqnarray*}$

Bsp. Ist $\begin{eqnarray*} K=\mathbb Q, a\in \mathbb Q_{\geq 0} \end{eqnarray*}$ so ist $\begin{eqnarray*} {^{n}\sqrt{a}} \end{eqnarray*}$ eine Lösung. Ist n gerade, so ist auch $\begin{eqnarray*} -{^{n}\sqrt{a}} \end{eqnarray*}$ eine Lösung

30.01.2016, 17:36

tatmas

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Und was hat das mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_n \end{eqnarray*}$ zu tun?
Ich sehe in deinem letzten Post nichts was mit diesem Körper zu tun hat, geschweige denn einen Körper oder eine Körpererweiterung definiert.

Zitat:

Bsp. Ist $\begin{eqnarray*} K=\mathbb Q, a\in \mathbb Q_{\geq 0} \end{eqnarray*}$ so ist $\begin{eqnarray*} {^{n}\sqrt{a}} \end{eqnarray*}$ eine Lösung. Ist n gerade, so ist auch $\begin{eqnarray*} -{^{n}\sqrt{a}} \end{eqnarray*}$ eine Lösung

Keine Ahnung was das sagen soll. z.B. n=a=2 liegt $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ gar nicht in K.

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