Riemann Summe ln x

30.01.2016, 13:39	SWT	Auf diesen Beitrag antworten »
Riemann Summe ln x Meine Frage: Hallo, ich übe gerade und komme bei der Aufgabe einfach nicht weiter. Ich soll das Integral $\begin{eqnarray} \int_{1}^{a} \! ln(x) \, dx \end{eqnarray}$ für a>1 mittels Riemannscher Summe berechnen. Meine Ideen: Die Summe für die Riemannsche Summe lautet ja $\begin{eqnarray} I = \sum\limits_{k=1}^{n} f(T_{k}) (x_{k} -x_{k-1}) \end{eqnarray}$ für meine Zerlegung wähle ich die Zwischenstellen $\begin{eqnarray} x_{k} = a^{\frac{k}{n} } \end{eqnarray}$ So wenn ich das einsetze erhalte ich $\begin{eqnarray} I = \sum\limits_{k=1}^{n} ln( a^{\frac{k-1}{n} })(a^{\frac{k}{n} } - a^{\frac{k-1}{n} } ) \end{eqnarray}$ ich weiß, dass gilt ln x^b = blnx und a^k/n = ka^1/n Weiter würde ich jetzt so umformen, aber dann scheiterts $\begin{eqnarray} I = ln (a)\sum\limits_{k=1}^{n} (\frac{k-1}{n} )(ka^{\frac{1}{n} } - a^{\frac{k-1}{n} } ) \end{eqnarray*}$ Liebe Grüße SWT
31.01.2016, 12:00	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemann Summe ln x Richtig müsste es heißen: $\begin{eqnarray} I = \ln (a)\sum\limits_{k=1}^{n} (\frac{k-1}{n} )(a^{\frac{k}{n} } - a^{\frac{k-1}{n} } ) \end{eqnarray}$ . Rechne am besten die ersten Terme per Hand aus und siehe wie schön es sich vereinfacht.
02.02.2016, 16:41	SWT	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemann Summe ln x Wie meinst du das? eben da komme ich nicht weiter
02.02.2016, 16:48	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemann Summe ln x Was bekommst du denn raus, wenn du dir die ersten Terme aufschreibst?
02.02.2016, 17:25	SWT	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemann Summe ln x $\begin{eqnarray} ln(a) (0+(\frac{1}{n}(a^{\frac{2}{n} } -a^{\frac{1}{n} })) + ...) \end{eqnarray}$ Meinst du das?
02.02.2016, 17:29	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemann Summe ln x Genau, aber ein paar Summanden (k = 3, 4) solltest du dir noch aufschreiben. Zur Übersicht bietet sich an das aber für $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n (k-1)( a^{\frac k n} - a^{\frac {k-1}n} ) \end{eqnarray}$ zu machen, dann muss man auch nicht so viel schreiben. Nachdem man die ersten Terme ausgeschrieben hat, vereinfacht man das ein wenig und sollte dann eine Vermutung für eine leichtere Darstellung der Summe haben.
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02.02.2016, 18:01	SWT	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemann Summe ln x $\begin{eqnarray} ln(a) (0+\frac{a^{\frac{2}{n} } -a^{\frac{1}{n} }}{n} + \frac{2(a^{\frac{3}{n} }-a^{\frac{2}{n} }) }{n} ...) \end{eqnarray}$ Ich versteh das Prinzip schon, aber ich stehe gerade auf dem Schlauch wie ich das vereinfachen könnte
02.02.2016, 18:05	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemann Summe ln x Damit ich etwas Schreibarbeit spare: $\begin{eqnarray} b = a^{\frac 1 n} \end{eqnarray}$ . Du hast $\begin{eqnarray} (b^2 - b) + 2(b^3 - b^2) + 3(b^4 - b^3) = -b - b^2 - b^3 + 3b^4 \end{eqnarray}$ , durch einfaches ausmultiplizieren.

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