Nachfrage zur Formel n!/(n-k)!

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Nachfrage zur Formel n!/(n-k)!
Hallo,

eine kurze Frage:
Warum ist bei der Formel n!/(n-k)! die Reihenfolge von Bedeutung bei der Berechnung der Anzahl der Möglichkeiten? Es heißt ja Möglichkeiten ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge.

Z.B. eine Urne mit 4 Kugeln: rot gelb blau grün und es soll 3 Mal ohne Zurücklegen gezogen werden

4! ist die Anzahl der Möglichkeiten, aber warum?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Nun es gibt Kombinationen für eine k- Teilmenge.

Eine solche Teilmenge hat k! Permutationen. Zusammen also



Variationen. Bei dir dann eben Möglichkeiten
 
 
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
4! ist die Anzahl der Möglichkeiten, aber warum?


Weil es nun mal 4*3*2*1 Möglichkeiten gibt, diese 4 unterscheidbaren Kugel anzuordnen oder mit anderen Worten gibt es 4! Möglichkeiten aus n=4 Kugeln k=4 Kugeln ohne zurücklegen zu ziehen.
Das hat - wie du siehst - jedoch bisher noch nichts mit dem dreimaligen Ziehen aus deiner Aufgabenstellung zu tun.
Spender Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich war auch irritiert. Ich habe hier ein Buch liegen, da wird unterschieden zw. ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge und mit Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge.

Was würde sich denn ändern, wenn ich die Reihenfolge nicht beachte?

Bei dem mit Zurücklegen rechnet man dann, 4³ Möglichkeiten. Ich ziehe ja immer wieder aus der gleichen Anzahl an Elementen
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

bei k=4 haben wir eine Vollerhebung. Das kommt einer Permutation gleich.
P(4)=4!=4*3*2*1=24
bei k=3 ( Teilerhebung ) haben wir 4*3*2 = 24 Möglichkeiten.

Zur Frage : aus den 24 Variationen werden dann wieder 4 Kombinationen.

mit Zurücklegen und Reihenfolge gibt es Variationen.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

mit Zurücklegen ohne Reihenfolge gibt es Kombinationen.

Ich würde zum Verständnis ein Beispiel mit besseren Zahlen wählen.
Spender Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich mir das nicht als Baumdiagramm vorstellen?
Ich habe eine Urne mit 4 Kugeln. Wenn ich da jetzt jedes Mal wieder zurücklege und ziehe neu, dann ist es ja einsichtig, dass ich immer wieder aus 4 Kugeln auswähle. Also hat mein Baumdiagramm 4 Äste und an jedem Ast sind wieder 4 und das drei Mal. Deshalb 4³. Wenn ich hier jetzt nicht die Reihenfolge beachte, wie wirkt sich das auf mein Baumdiagramm aus? Der Zusammenhang ist noch nicht klar
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

das wäre dann wieder siehe oben.

Das Baumdiagramm dazu ist etwas unpassend, aber prinzipiell zählst du alle Pfade die lediglich Permutationen besitzen als 1.

Ich verwende mal 1,2,3,4 als Farben.


111 gibt es nur einmal in den 64 Pfaden -----------------------------> 1
112,121,211 gibt es 3 mal in den 64 Pfaden ---------------------------> 1
123,123,213,231,312,321 gibt es 6 mal in den 64 Pfaden. -----------> 1
......
Spender Auf diesen Beitrag antworten »

Ah okay, danke. Das scheint jetzt nachvollziehbar für mich.

Noch ne Frage: Augenzwinkern

Folgendes Beispiel mit Lösung: ES gibt 3 Stühle 1 2 und 3 und 3 Personen A B C . Wie viele Möglichkeiten gibt es die Personen auf die Stühle zu verteilen?

A: 3! also 6 Möglichkeiten.

Hierbei spielt jetzt die Reihenfolge eine Rolle und es ist wie das Ziehen aus einer Urne mit 3 Kugeln ohne Zurücklegen, oder?

Jetzt habe ich hier folgenden Satz in einem Buch gefunden: Bei --maligem Ziehen aus einer Menge n Elemente/ Möglichkeiten ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge gibt es n!/(n-k)! Möglichkeiten

Auf das obere Beispiel übertragen: n = 3 da 3 Personen , aber was ist mein k ?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

das ist eine Vollerhebung, k=3. smile
Spender Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
Alles klar danke! Nenner wird ja dann 1 wg 0!

Noch eine letzte Frage: Wenn ich 10 Stühle habe und 2 Personen. Wie viele Möglichkeiten der Sitzverteilung habe ich dann?

10! / (10-2)! ?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ja, formelmäßig richtig !

praktisch einfacher = 10*9
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Interessantes Detail am Rande:

Während man im deutschen da von Variationen ohne Wiederholung bzw. ohne Zurücklegen spricht, und die somit von Permutationen begrifflich abgrenzt, ist das im englischen anders. Dort spricht man von "partial permutations" oder "k-permutations".

Wikipedia merkt dazu trocken an:

Zitat:
Variations without repetition, an archaic term in combinatorics still commonly used by non-English authors for k-permutations of n
Variations with repetition, an archaic term in combinatorics still commonly used by non-English authors for n-tuples
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