lim (1/sin x) - (1/x)

30.01.2016, 17:45	amateurphysiker_	Auf diesen Beitrag antworten »
lim (1/sin x) - (1/x) ..für x gegen 0. Kann mir vielleicht jemand helfen wie ich bei der Aufgabe ansetze? Beide Terme für sich gehen ja gegen unendlich, aber damit komme ich wohl nicht weiter. Ich hab leider keine Idee wie ich das umformen kann.. Danke im Voraus!
30.01.2016, 18:13	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, zum Beispiel mit dem Mittelwertsatz: Wir bekommen für alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb R \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} \sin(x) = x\cos(\theta_x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|\theta_x\|\leq \|x\| \end{eqnarray}$ . Jetzt setze das ein, um $\begin{eqnarray} \left\|\frac{1}{\sin(x)}-\frac{1}{x}\right\| \end{eqnarray}$ abzuschätzen.
30.01.2016, 18:19	nahörmal	Auf diesen Beitrag antworten »
na $\begin{eqnarray} \sin(x) \sim x,\ \ x\to0 \end{eqnarray}$ (asymptotisch) (ist oft nützlich) vielleicht bekannt ? Dann ist es einfach P.S: präzise in Landau-Symbolen; $\begin{eqnarray} \sin x = x+o(x) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\to 0 \end{eqnarray}$ was äquivalent ist zu $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 \end{eqnarray}$
30.01.2016, 18:24	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
@nahörmal: ich bin mir nicht sicher, ob das reicht. Es gilt auch $\begin{eqnarray} \lim_{x\to0} \frac{x}{x+x^2} = 1 \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} \lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+x^2}\right) \end{eqnarray}$ existiert trotzdem nicht. Da muss man schon noch mehr rausholen.
30.01.2016, 19:11	Ballonfahrer1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte das auf einen Bruch gebracht, die linke Seite mit x erweitern, die rechte mit sinx. Beides zusammenfassen und man hat, wenn man nun x gegen Null laufen lässt, die Situation 0/0. Darauf lässt sich dann ja LHospital anwenden. Danach hat man wieder die Situtation 0/0, also erneut LH anwenden. Nach dem zweiten Mal kann man allerdings den GW errechnen und der ist 0. Lässt sich das darüber lösen?
30.01.2016, 19:12	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das geht auch.
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30.01.2016, 19:22	amateurphysiker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Werds gleich ausprobieren!!

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