Supremum bestimmen

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30.01.2016, 20:39	amateurphysiker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Supremum bestimmen Ich soll das Supremum bestimmen, hilft es mir hierzu erstmal den Grenzwert zu bestimmen oder wie geht man dazu vor?
31.01.2016, 11:37	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremum bestimmen Grenzwert könntest du bestimmen, aber sinnvollerweise erst einmal $\begin{eqnarray} \lim_{t \to \infty} t^n e^{-nt} \end{eqnarray}$ für festes $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Zusammen mit der Information, dass $\begin{eqnarray} f_n(0) = 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \geq 1 \end{eqnarray}$ kannst du folgern, dass das Supremum in Wirklichkeit in Maximum ist. Und wie man das Maximum einer differenzierbaren Funktion bestimmen kann, ist Schulstoff -- denke du weißt worauf ich hinaus will.
04.02.2016, 12:13	amateurphysiker_	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremum bestimmen Hi IfindU, danke für deine Antwort! Sorry, hat etwas gedauert bei mir.. Also ich hab jetzt mal durch Ableitung nach t das lokale Maximum bestimmt bei t=1 (siehe hier). Da $\begin{eqnarray} \lim_{t \to \infty} t^n e^{-nt} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \lim_{t \to 0} t^n e^{-nt} \end{eqnarray}$ = 0 kann ich sagen, dass das lokale Maximum ein globales Maximum und deshalb Supremum ist, passt das? Danke!
04.02.2016, 12:21	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremum bestimmen Das stimmt. Bei der Rechnung musst du allerdings aufpassen, da für $\begin{eqnarray} n \geq 2 \end{eqnarray}$ ebenfalls $\begin{eqnarray} t = 0 \end{eqnarray}$ eine Lösung von $\begin{eqnarray} t^n = t^{n-1} \end{eqnarray}$ ist, und für $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ ist auch $\begin{eqnarray} f'(0) = 0 \end{eqnarray}$ . Ansonsten stimmt es. Nun kannst du dich ja mal an den punktweisen Grenzwert machen, und mit der Information, dass $\begin{eqnarray} \sup f_n(x) = f_n(1) \end{eqnarray}$ ist es dann recht leicht gleichmäßige Konvergenz zu sehen oder zu widerlegen.
04.02.2016, 12:32	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremum bestimmen Die 1. Ableitung könnte man besser so faktorisieren: $\begin{eqnarray} f'(t)=ne^{-nt}t^{n-1}(1-t). \end{eqnarray}$ Dann kann man alle Nullstellen einfach ablesen. Und auf die Betrachtung der 2. Ableitung würde ich hier komplett verzichten und stattdessen den Vorzeichenwechsel an der Stelle 1 betrachten, welcher anhand obiger Darstellung auch geschenkt ist.
04.02.2016, 13:12	amateurphysiker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, danke!!
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04.02.2016, 17:38	amateurphysiker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich hab mich mal an der gleichförmigen Kovergenz versucht (siehe hier). Ist die Argumentation so richtig? Danke!
04.02.2016, 20:23	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider nicht. Wenn $\begin{eqnarray} t = \frac 1n \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} t^{n} = \frac { 1 } {n^n} \to 0 \end{eqnarray}$ . Das heisst, die letzte Folgerung ist falsch. Schau dir stattdessen das $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ an, s.d. $\begin{eqnarray} f_n(t) \end{eqnarray}$ maximal ist, deswegen hat man es ja vorher ausgerechnet
05.02.2016, 13:46	amateurphysiker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok das hatte ich übersehen! Ok für t=1 (wo das Maximum liegt), ergibt sich $\begin{eqnarray} f_{n}(t)= \frac{1}{e^{n} } \end{eqnarray}$ was gegen 0 konvergiert. Aber damit kann ich ja genausowenig gleimaessige konvergenz zeigen noch widerlegen!?
05.02.2016, 13:53	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Aussage ist äquivalent zur gleichmäßigen Konvergenz! Fang doch mal an: $\begin{eqnarray} \sup_{x \in \mathbb R} \| f_n(x) - f(x) \| \end{eqnarray}$ , und setze mal alles ein was du weißt.
05.02.2016, 15:32	amateurphysiker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich kann dir leider nicht folgen. Wieso ist das äquivalent zur gleichmäßigen Konvergenz? Damit zeige ich doch nur, dass die Folge fuer t=0 konvergiert? $\begin{eqnarray} \| f_n(x) - f(x) \| \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \| \frac{t^{n} }{e^{nt} } - 0 \| \end{eqnarray}$ Das hatten wir doch vorher schon oder nicht?
05.02.2016, 15:42	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben doch $\begin{eqnarray} \| f_n(t) - f(t) \| = \| \frac{t^{n} }{e^{nt} } - 0 \| = \frac { t^n}{e^{nt}} \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} \sup_{t \geq 0} \| f_n(t) - f(t) \| = \| \frac{t^{n} }{e^{nt} } - 0 \| = \sup_{t\geq 0} \frac { t^n}{e^{nt}} = \frac 1 { e^n} \end{eqnarray}$ , wobei die letzte Gleichheit genau das Einsetzen des explizite bestimmten Maximierers von $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ ist.
05.02.2016, 17:42	amateurphysiker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok alles klar, das Supremum-Kriterium war mir gar nicht bekannt. Hab es gerade noch nachgelesen. Danke!
05.02.2016, 17:59	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Also bis jetzt habe ich es als Definition (!) kennengelernt. Wenn ihr eine andere Definition habt, und das eine äquivalente Formulierung dazu ist, wäre ich sehr interessiert. Edit: Ahso, einfach über Epsilon-N Kriterium formuliert?
05.02.2016, 18:07	amateurphysiker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir hatten es in dieser Reihenfolge im Skript:

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