DGL via Substitution, komme nicht bis zum Ende

01.02.2016, 10:56

zwerkules

DGL via Substitution, komme nicht bis zum Ende

Hallo und nach einigem mitlesen mal eine eigene Frage zu Differentialgleichungen.
Es geht um 2 bestimmte, hier mal die 1. :

$\begin{eqnarray*} y'=(1+\frac{y}{x} )^{2}+\frac{y}{x} Subst. : u = \frac{y}{x} und daher y = u*x Produktregel anwenden: y'= u'*x+u Einsetzen u'*x+u = (1+u)^2 + u Vereinfachung (minus u und teilen durch x bzw. durch den Klammerausdruck um Variablen zu trennen): \frac{u'}{(1+u)^2} = 1/x \end{eqnarray*}$

Dann könnte man ja das Integral aufstellen oder was meint Ihr ?
Ich weiss aber nicht wie es dann mit der Stammfkt funktioniert bei dem Bruch mit u . (1/x würde ja wohl zum ln(x)+C )

01.02.2016, 11:15

Mathema

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Du wirst doch wohl eine Stammfunktion für $\begin{eqnarray*} f(u):=(1+u)^{-2} \end{eqnarray*}$ finden, oder nicht?

01.02.2016, 11:22

zwerkules

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Hallo hallo, ist es

-1*(1+u)^-1 ?

01.02.2016, 11:23

Mathema

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So ist es. Freude

01.02.2016, 11:26

zwerkules

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ja wunderbar, also dann hat man :

-(1+u)^-1 = ln(x)+C

kann man jetzt (rück-)einsetzen für u?

01.02.2016, 11:28

Mathema

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Jap - du hast also:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{\tfrac{y}{x}+1}=\ln|x|+c \end{eqnarray*}$

Das musst du nach y auflösen.

01.02.2016, 11:44

zwerkules

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man kann ja
$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{(y/x)+1} ; als \frac{-x}{y}-1 \end{eqnarray*}$ schreiben oder ?!

Am Ende habe $\begin{eqnarray*} y=-x*\frac{1}{ln(x)+C+1} \end{eqnarray*}$

01.02.2016, 11:48

Mathema

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Zitat:

man kann ja
$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{(y/x)+1} ; als \frac{-x}{y}-1 \end{eqnarray*}$ schreiben oder ?!

Wie addierst du denn Brüche? $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}+\frac{1}{7}=\frac{1}{3+7} \end{eqnarray*}$ ?

01.02.2016, 12:04

zwerkules

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JA man müsste natürlich erweitern. Aber ist das bei dem Bruch nicht zulässig

-1/(a/b)+1 als = -b/a -1 zu schreiben ? oder besser gesagt wie macht man es korrekt?^^

01.02.2016, 12:16

Mathema

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Zitat:

Aber ist das bei dem Bruch nicht zulässig

-1/(a/b)+1 als = -b/a -1 zu schreiben ?

Erstens fehlen da Klammern. Zweitens scheinst du mein Beispiel nicht verstanden zu haben. Lies doch mal meine Gleichung von rechts nach links. Du möchtest doch genau diese Regel anwenden, die nicht existiert. Nichts anderes wollte ich mit meinem Beispiel verdeutlichen. Noch mal allgemein:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a+b}\neq\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \end{eqnarray*}$

Richtigerweise multiplizierst du mit dem Nenner:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{\tfrac{y}{x}+1}=\ln|x|+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1=(\ln|x|+c)(\tfrac{y}{x}+1) \end{eqnarray*}$

Oder alternativ:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\tfrac{y}{x}+1}=\frac{1}{\tfrac{y+x}{x}}=\frac{x}{y+x} \end{eqnarray*}$

Und somit:

$\begin{eqnarray*} -x=(\ln|x|+c)(y+x) \end{eqnarray*}$

Nun du weiter...

01.02.2016, 12:24

zwerkules

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teilen durch den 1.Klammerausdruck und dann -x:

$\begin{eqnarray*} y=-x+\frac{-x}{ln(x)+C} y=-x*(1+\frac{1}{ln(x)+C}) \end{eqnarray*}$

und Dankeschön

01.02.2016, 12:35

Mathema

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Ich würde einen Bruch bevorzugen, also:

$\begin{eqnarray*} y(x)=-x+\frac{-x}{ln(x)+C}=\frac{-x(\ln|x|+c+1)}{\ln|x|+c} \end{eqnarray*}$

Zitat:

und Dankeschön

Gerne - und nachträglich noch einmal:

Willkommen im Matheboard!

Wink

Kommst du mit deiner zweiten Gleichung nun zurecht?

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