Unendliche Summe

25.08.2004, 16:22	Andrew Wiles	Auf diesen Beitrag antworten »
Unendliche Summe Hallo Leute! Mich beschäftigt derzeit folgendes Problem: Man bestimme den Wert der Summe: $\begin{eqnarray} 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16} \pm \end{eqnarray}$ ... Also dachte ich mir, ich zerlege die Summe in 2 Komponenten, den negativen und postiven Teil und schreibe diese in geschlossener Form an: $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty~\frac{1}{2^{2 n}}-\sum_{n=0}^\infty~\frac{1}{2^{2n + 1}} \end{eqnarray}$ Das sind nun glaube ich zwei geometrische Reihen. Mir ist auch die Lösungsformel für diese aus dem Forum hier bekannt, aber die funktioniert doch nur für einen einfachen Exponenten, d.h. $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty~x^{n} = \frac{1}{1-x} \end{eqnarray}$ Kann mir bitte jemand helfen die Formel herzuleiten, die man in meinem Fall oben bräuchte?
25.08.2004, 16:42	Philipp-ER	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi. Das ist sicherlich eine Möglichkeit. Du könntest dann einfach wie folgt umschreiben: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2^{2n}}=(\frac{1}{2^2})^n \end{eqnarray}$ (Potenzgesetze beachten), bzw bei der 2. Summe erst 1/2 ausklammern, um dann genau die gleiche Umformung zu machen. In dieser Form lässt sich dann problemlos die Formel für die geometrische Reihe anwenden. Es geht aber auch einfacher: Um eine alternierende Reihe zu erhalten, benutzt man meistens einen Ausdruck der Form (-1)^n. Wie könntest du ihn benutzen, um deine Reihe direkt aufzuschreiben? Es lässt sich dann direkt die Formel für die geometrische Reihe anwenden, ich denke, das ist einfacher.
25.08.2004, 16:48	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unendliche Summe Also für die erste Summe: $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty~\frac{1}{2^{2 n}} = \sum_{n=0}^\infty~\frac{1}{(2^2)^n} = \sum_{n=0}^\infty~(\frac{1}{4})^n \end{eqnarray}$ Die zweite Summe: $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty~\frac{1}{2^{2n + 1}}=\sum_{n=0}^\infty~\frac{1}{2^{2n}\cdot 2}=\sum_{n=0}^\infty~\frac{1}{(2^2)^n\cdot 2}=\sum_{n=0}^\infty~\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{4})^n=\frac{1}{2}\cdot \sum_{n=0}^\infty~(\frac{1}{4})^n \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty~\frac{1}{2^{2 n}}-\sum_{n=0}^\infty~\frac{1}{2^{2n + 1}}=\sum_{n=0}^\infty~(\frac{1}{4})^n-\frac{1}{2}\cdot \sum_{n=0}^\infty~(\frac{1}{4})^n=\frac{1}{2}\cdot \sum_{n=0}^\infty~(\frac{1}{4})^n \end{eqnarray}$ und jetzt einfach die Formel unten für $\begin{eqnarray} x=\frac{1}{4} \end{eqnarray}$ anwenden und mit 1/2 multiplizieren. edit: Philipps zweiter Vorschlag geht natürlich auch, er ist hier mMn auch einfacher.
25.08.2004, 17:03	Andrew Wiles	Auf diesen Beitrag antworten »
Schönen Dank für eure Antworten. PhilippEr - Deine Idee habe ich jetzt auch verstanden $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty~\frac{(-1)^{n}}{2^{n}} \end{eqnarray}$ Dann muss ich nur noch -1/2 in die alte Formel einsetzen :]

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