Berechnung Orthonormalbasis vom Vektorraum

01.02.2016, 14:08

Alina H.

Berechnung Orthonormalbasis vom Vektorraum

Meine Frage:
Hallo liebe Community,
ich gehe gerade ein paar Altprüfungsaufgaben durch zur Klausurvorbereitung und bin bei folgender Aufgabe hängen geblieben:

Sei V=M(nxn,IR) der Vektorraum der nxn Matrizen (n \in IN)

Für eine Matrix $\begin{eqnarray*} A=(a_{ij})_{i,j\in(1,...,n)}\in V sei \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sp(A) := \sum\limits_{i=1}^{n} a_{ii} \end{eqnarray*}$

Dann definiert $\begin{eqnarray*} <A,B> := sp(A^TB), A,B \in V \end{eqnarray*}$

ein Skalarprodukt auf V. Die Matrizen

$\begin{eqnarray*} A_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{2} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{3} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{4} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bilden eine Basis von V. Berechnen Sie aus diesen Vektoren eine Orthonomalbasis von V.

Meine Ideen:
Ich finde in meinen Unterlagen nichts entsprechendes zur Orthonormalbasis und bisher hatten wir auch noch keine Übung hierzu. Daher bin ich ziemlich ratlos.

Daher würde ich euch mal ausnahmsweise bitten, mir diese Aufgabe ein wenig mehr als nur per Tipps erklärend näher zu bringen. Wie geht man hier vor? Gibt es ein bestimmtes "Schema"?

Wäre über eure Hilfe sehr dankbar smile

01.02.2016, 19:35

10001000Nick1

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RE: Berechnung Orthonormalbasis vom Vektorraum

Zitat:

Original von Alina H.
Gibt es ein bestimmtes "Schema"?

Ja, gibt es: Das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren. Das hattet ihr bestimmt in der Vorlesung. Und wenn nicht, gibt es immer noch Google. Augenzwinkern

03.02.2016, 00:29

Alina H.

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RE: Berechnung Orthonormalbasis vom Vektorraum
Vielen Dank. Dein Tipp hatte mir schon sehr geholfen smile

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