Folgenkonvergenz

01.02.2016, 20:30

1241354235

Folgenkonvergenz

Meine Frage:
Wie untersuche ich diese Folge auf Konvergenz? $\begin{eqnarray*} \frac{1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}}{2^{3}} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe mir gedacht ich multipliziere den Bruch mit $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$
Dann erhalte ich $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1^{2}}{n} +\frac{2^{2}}{n}+\frac{3^{2}}{n} +...+\frac{n^{2}}{n} }{\frac{n^{3}}{n} } \end{eqnarray*}$ , da n gegen unendlich geht würden die Brüche mit n im Nenner ja gegen Null gehen und es bliebe $\begin{eqnarray*} \frac{n}{n^{2}} \end{eqnarray*}$ was wiederrum gegen null geht. Kann man das so machen oder gibt es da ein Problem, weil ich ja quasi $\begin{eqnarray*} \frac{k-1}{k} \end{eqnarray*}$ etc. ignoriere

Latex korrigiert. (Guppi12)

01.02.2016, 20:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von 1241354235
Wie untersuche ich diese Folge auf Konvergenz? \frac{1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}}{2^{3}}

Geht es wirklich um $\begin{align*} \frac{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}{2^3} \end{align*}$ und nicht doch eher um $\begin{align*} \frac{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}{n^3} \end{align*}$ ? verwirrt

01.02.2016, 20:45

1241354235

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von 1241354235
Wie untersuche ich diese Folge auf Konvergenz? \frac{1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}}{2^{3}}

Geht es wirklich um $\begin{align*} \frac{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}{2^3} \end{align*}$ und nicht doch eher um $\begin{align*} \frac{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}{n^3} \end{align*}$ ? verwirrt

Natürlich um $\begin{align*} \frac{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}{n^3} \end{align*}$ Hammer

01.02.2016, 20:57

HAL 9000

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Verwende im Zähler die Summenformel für Quadrate, d.h., $\begin{align*} \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{align*}$ .

02.02.2016, 09:17

Matt Eagle

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Alternativ könntest Du den Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \frac{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}{n^3}=\sum_{k=1}^n\frac{k^2}{n^3}=\frac 1n\sum_{k=1}^n\left(\frac kn\right)^2 \end{eqnarray*}$

auch als Zwischensumme des Integrals

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 x^2~\dd x \end{eqnarray*}$

auffassen.

02.02.2016, 11:12

HAL 9000

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Ein Wort noch dazu:

Zitat:

Original von 1241354235
da n gegen unendlich geht würden die Brüche mit n im Nenner ja gegen Null gehen und es bliebe $\begin{eqnarray*} \frac{n}{n^{2}} \end{eqnarray*}$ was wiederrum gegen null geht. Kann man das so machen

Kann man nicht: Es stimmt zwar, dass jeder einzelne dieser Brüche gegen Null geht. Das Problem ist, dass dies keine feste oder auch nur beschränkte Anzahl von Brüchen ist, wenn man den Grenzübergang $\begin{align*} n\to \infty \end{align*}$ durchführt! Nur bei einer beschränkten Anzahl Summanden, die alle gegen Null gehen, kann man sagen, dass auch deren Summe gegen Null geht - bei einer unbeschränkten Anzahl funktioniert diese Argumentation nicht, diese Aufgabe hier ist das beste Beispiel dafür. Augenzwinkern

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