Konvergenz (absolute Konv.) 2

02.02.2016, 00:11

Alina H.

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Konvergenz (absolute Konv.) 2

Meine Frage:
Meine Frage:
Hallo liebe Community,

ich möchte folgende Reihen auf Konvergenz überprüfen:

$\begin{eqnarray*} 1) \sum\limits_{k=0}^{\infty }\frac{k^2}{k!} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2) \sum\limits_{n=2}^{\infty } (-1)^n \frac{n}{(n+1)*(n-1)} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Zur 1) habe ich folgendes raus (Quotientenkr.):
$\begin{eqnarray*} |\frac{\frac{(k+1)^2}{(k+1)!} }{\frac{k^2}{k!} } | = | \frac{(k+1)^2*k!}{k^2*(k+1)!} | = | \frac{(k+1)^2}{k^2*(k+1)} | = | \frac{(k+1)*(k+1)}{k^2*(k+1)} | = | \frac{(k+1)}{k^2} | = \lim_{k \to \infty } 1+(\frac{(1)}{k})^2 > 1 \end{eqnarray*}$ , d.h. ja, dass diese Reihe divergiert, aber sollte sie nicht konvergieren? Hab ich irgendwo einen Fehler?

Bei der 2) habe ich mehr Probleme. Welches Kriterium sollte ich hier benutzen?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^{\infty } (-1)^n \frac{n}{(n+1)*(n-1)} = (-1)^n \frac{n}{n^2-1} = (-1)^n (\frac{n}{n^2}-\frac{n}{1}) = (-1)^n (\frac{1}{n} - \frac{n}{1}) \end{eqnarray*}$

Hilft mir diese Umformung weiter?

02.02.2016, 07:23

MeMeansMe

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RE: Konvergenz (absolute Konv.) 2
Guten Morgen,

überprüfe bei der 1) nochmal deine letzte Umformung smile

smile

Zur 2): Hast du schon mal etwas vom Leibnitz-Kriterium gehört? Das kannst du hier gut verwenden.

PS: Vielleicht kannst du noch etwas konsequenter bei dem Gebrauch von $\begin{eqnarray*} \lim \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum \end{eqnarray*}$ sein. Wenn du auf einmal bei der 1) am Ende einen Limesoperator benutzt, ist das nicht wirklich sauber, da dieser von Anfang an dort stehen sollte. Bei der 2) gilt Entsprechendes für das Summenzeichen. Copy/Paste hilft smile

smile

02.02.2016, 08:56

Alina H.

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RE: Konvergenz (absolute Konv.) 2
Ok, schon einmal danke smile

smile

Ich denke ich habs jetzt:

Zur 1) habe ich nun folgendes raus (Quotientenkr.):
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } |\frac{\frac{(k+1)^2}{(k+1)!} }{\frac{k^2}{k!} } | = \lim_{k \to \infty } | \frac{(k+1)^2*k!}{k^2*(k+1)!} | = \lim_{k \to \infty } | \frac{(k+1)^2}{k^2*(k+1)} | = \lim_{k \to \infty } | \frac{(k+1)*(k+1)}{k^2*(k+1)} | = \lim_{k \to \infty } | \frac{(k+1)}{k^2} | = \lim_{k \to \infty } | \frac{k}{k^2}+\frac{1}{k^2} | = \lim_{k \to \infty } \frac{1}{k}+\frac{1}{k^2} < 1 \end{eqnarray*}$

smile

smile

Zur 2)

Mit Leibnizkriterium
Zz. dass an eine Nullfolge ist:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^{\infty } (-1)^n \frac{n}{(n+1)*(n-1)} = \sum\limits_{n=2}^{\infty } (-1)^n \frac{n}{n^2-1} = \sum\limits_{n=2}^{\infty }(-1)^n \frac{1}{n^2-1} = \lim_{n \to \infty}0 \end{eqnarray*}$

Zz. dass an monoton fällt:
$\begin{eqnarray*} a_{n} \geq a_{n+1} <br /> <=> \frac{n}{(n+1)*(n-1)} \geq \frac{n+1}{((n+1)+1)*((n+1)-1)} <br /> <=> n*((n+1)+1)*(n+1)-1) \geq (n+1)*((n+1)*(n-1))<br /> <=> n*((n+1)^2-1) \geq (n+1)*(n^2-1)<br /> <=> -1n^2+1n \geq -1 \end{eqnarray*}$
aber das kann ja nicht stimmen?! Hab ich mich verrechnet oder heißt dies, dass diese Reihe nicht konvergiert? verwirrt

verwirrt

02.02.2016, 08:58

klarsoweit

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RE: Konvergenz (absolute Konv.) 2

Zitat:

Original von Alina H.
$\begin{eqnarray*} (-1)^n \frac{n}{n^2-1} = (-1)^n (\frac{n}{n^2}-\frac{n}{1}) \end{eqnarray*}$

Generell scheinst du ein Problem mit der Bruchrechnung zu haben. Obiges ist grottenfalsch. Das sieht man schon daran, daß man vorher n=0 problemlos in den Term einsetzen kann, hinterher aber nicht mehr. Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.02.2016, 09:04

klarsoweit

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RE: Konvergenz (absolute Konv.) 2

Zitat:

Original von Alina H.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^{\infty } (-1)^n \frac{n}{n^2-1} = \sum\limits_{n=2}^{\infty }(-1)^n \frac{1}{n^2-1} \end{eqnarray*}$

Hier läßt du einfach im Zähler das n weg? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von Alina H.
$\begin{eqnarray*} n*((n+1)^2-1) \geq (n+1)*(n^2-1)<br /> <=> -1n^2+1n \geq -1 \end{eqnarray*}$
aber das kann ja nicht stimmen?!

Diese Umformung kann ich nicht nachvollziehen.

02.02.2016, 09:38

Matt Eagle

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RE: Konvergenz (absolute Konv.) 2
In Aufgabe 1 ist die Konvergenz mit dem Quot.-Krit. natürlich schnell gezeigt.

Wenn Du aber bereits wissen solltest, dass

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac 1{n!}=e \end{eqnarray*}$

dann kannst Du durch eine kleine direkte Rechnung sogar zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{n!}=2e. \end{eqnarray*}$

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02.02.2016, 10:20

Alina H.

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RE: Konvergenz (absolute Konv.) 2

Zitat:

Original von Matt Eagle
In Aufgabe 1 ist die Konvergenz mit dem Quot.-Krit. natürlich schnell gezeigt.

Wenn Du aber bereits wissen solltest, dass

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \frac 1{n!}=e \end{eqnarray*}$

dann kannst Du durch eine kleine direkte Rechnung sogar zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{n!}=2e. \end{eqnarray*}$

Stimmt vielen Dank smile

smile

Hallo klarsoweit, erst einmal noch danke für die Hilfe in der letzten Woche. Nach dem die Seite offline war kam ich leider nicht mehr dazu mich zu bedanken Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Alina H.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^{\infty } (-1)^n \frac{n}{n^2-1} = \sum\limits_{n=2}^{\infty }(-1)^n \frac{1}{n^2-1} \end{eqnarray*}$

Hier läßt du einfach im Zähler das n weg? verwirrt

verwirrt

Hier hab ich mich wohl beim kopieren im Formeleditor vertan:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^{\infty } (-1)^n \frac{n}{n^2-1} = \sum\limits_{n=2}^{\infty }(-1)^n \frac{1}{n-1/n} \end{eqnarray*}$

So sollte es doch stimmen? Und das ist ja dann =0 für n-> unendlich

Zitat:

Zitat:

Original von Alina H.
$\begin{eqnarray*} n*((n+1)^2-1) \geq (n+1)*(n^2-1)<br /> <=> -1n^2+1n \geq -1 \end{eqnarray*}$
aber das kann ja nicht stimmen?!

Diese Umformung kann ich nicht nachvollziehen.

Hier fehlte noch ein Zwischenschritt:

$\begin{eqnarray*} n*((n+1)^2-1) \geq (n+1)*(n^2-1)<br /> <=> n*n^2=n^3 \geq n^3-1n+1*n^2-1<br /> <=> -1*n^2+1*n \geq -1 \end{eqnarray*}$

Habe ich mich hier irgendwie vertan? Oder sollte ich es anders angehen?

02.02.2016, 10:30

klarsoweit

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RE: Konvergenz (absolute Konv.) 2

Zitat:

Original von Alina H.
Hallo klarsoweit, erst einmal noch danke für die Hilfe in der letzten Woche. Nach dem die

Kein Problem. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Alina H.
Hier hab ich mich wohl beim kopieren im Formeleditor vertan:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^{\infty } (-1)^n \frac{n}{n^2-1} = \sum\limits_{n=2}^{\infty }(-1)^n \frac{1}{n-1/n} \end{eqnarray*}$

So sollte es doch stimmen? Und das ist ja dann =0 für n-> unendlich

Das Summenzeichen (ich vergaß, es oben zu erwähnen) ist hier fehl am Platz. Außerdem würde ich durch n² kürzen. Dann geht der Nenner gegen 1 und der Zähler gegen Null, was dann insgesamt Null ergibt.

Zitat:

Original von Alina H.
Hier fehlte noch ein Zwischenschritt:

$\begin{eqnarray*} n*((n+1)^2-1) \geq (n+1)*(n^2-1)<br /> <=> n*n^2=n^3 \geq n^3-1n+1*n^2-1<br /> <=> -1*n^2+1*n \geq -1 \end{eqnarray*}$

Habe ich mich hier irgendwie vertan? Oder sollte ich es anders angehen?

Wir sind uns einig, daß $\begin{eqnarray*} n*((n+1)^2-1) \end{eqnarray*}$ nicht gleich n³ ist?

Zitat:

Original von Alina H.
$\begin{eqnarray*} <=> n*((n+1)+1)*(n+1)-1) \geq (n+1)*((n+1)*(n-1)) \end{eqnarray*}$

Wenn man noch eine fehlende Klammer ergänzt:
$\begin{eqnarray*} <=> n*((n+1)+1)*((n+1)-1) \geq (n+1)*((n+1)*(n-1)) \end{eqnarray*}$
wäre es insgesamt geschickter, an dieser Stelle die Klammern weiter aufzulösen. smile

smile

02.02.2016, 10:58

Alina H.

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RE: Konvergenz (absolute Konv.) 2
Super vielen Dank klarsoweit! Du hast mir wieder sehr geholfen smile

smile

Binomische Formel sollte man ja eigentlich können. Big Laugh

Big Laugh

Weiß nicht was mich da getrieben hat Hammer

Hammer

02.02.2016, 11:50

HAL 9000

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Man kann hier übrigens auch konkret die Reihenwerte ausrechnen (d.h., in den Fällen, wo überhaupt Konvergenz vorliegt Augenzwinkern

Augenzwinkern

).

Außerdem deute ich die Überschrift noch so, dass nicht nur Konvergenz, sondern auch absolute Konvergenz geprüft werden soll.

02.02.2016, 12:01

Alina H.

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Oh ja stimmt geschockt

geschockt

Was (oder wie) ist da nochmal zu prüfen?

Vielleicht kann mir ja jemand das schneller beantworten, als ich in den Unterlagen finde? Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.02.2016, 12:06

HAL 9000

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Absolute Konvergenz heißt, dass auch die Reihe der Beträge konvergieren muss.

Bei 1) ist da nichts weiter zu tun, da alle Reihenglieder bereits positiv sind, d.h. hier ist Konvergenz gleichbedeutend mit Absoluter Konvergenz.

Bei 2) betrifft es das Konvergenzverhalten der Reihe $\begin{align*} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{(n+1)\cdot (n-1)} \end{align*}$ .

03.02.2016, 11:23

Alina H.

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Hallo,

ich habe doch noch einmal eine Frage bzgl. der zweiten Aufgabe:

1) Zur Schreibweise: Statt des Summenzeichens muss ich doch einfach ein limes setzen?

2) Wenn ich die absolute Konv. nachweisen soll, dann reicht es ja die Summanden direkt im ersten Schritt in Betragsstriche zu setzen? Aus Absol. Konv. folgt ja dass auch an konvergiert..
Hat in diesem Fall auch problemlos funktioniert. Sollte auch richtig sein?

3) Muss ich bei der Grenzwertberechnung nicht eigentlich immer n+1 rechnen? Ist bei mir zuvor untergegangen, aber es hat auch keiner was angemerkt. Kann ich es also doch so machen?

03.02.2016, 11:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von Alina H.
1) Zur Schreibweise: Statt des Summenzeichens muss ich doch einfach ein limes setzen?

Erstaunt1

Erkläre dich näher. So geschrieben ist das einfach nur Blödsinn.

Zitat:

Original von Alina H.
2) Wenn ich die absolute Konv. nachweisen soll, dann reicht es ja die Summanden direkt im ersten Schritt in Betragsstriche zu setzen? Aus Absol. Konv. folgt ja dass auch an konvergiert..
Hat in diesem Fall auch problemlos funktioniert.

Meinst du mit "diesem Fall" die erste oder zweite Reihe? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von Alina H.
3) Muss ich bei der Grenzwertberechnung nicht eigentlich immer n+1 rechnen?

Dasselbe wie bei 1): In dieser Vereinfachung wieder nur Blödsinn.

03.02.2016, 11:43

Alina H.

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Ok dann nochmal aufgeschrieben Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es geht in 1) eigentlich nur um die zweite Reihe, ob ich es so aufschreiben kann:

Zur 2)

Mit Leibnizkriterium
Zz. dass an eine Nullfolge ist:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}(-1)^n \frac{n}{(n+1)*(n-1)} = \lim_{n \to \infty} (-1)^n \frac{n}{n^2-1} = \lim_{n \to \infty} (-1)^n \frac{\frac{1}{n}}{1-\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty}0 \end{eqnarray*}$

(Frage 2):
Hier kann ich doch eigentlich auch alles in Betragsstriche setzen und hätte damit doch schon die absol. Konvergenz gezeigt? (fallend monoton natürlich schon vorausgesetzt)

(Frage 3):
Hierbei müsste ich doch eigentlich n+1 rechnen, um den Grenzwert zu bestimmen? (Frage 3)

03.02.2016, 11:55

HAL 9000

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Hinsichtlich Leibnizkriterium:

Die Folge der Reihenglieder muss nicht nur eine Nullfolge sein, und auch nicht nur alternierend im Vorzeichen: Wesentlich ist noch, dass die Beträge der Reihenglieder monoton fallend sind.

Zitat:

Original von Alina H.
(Frage 2):
Hier kann ich doch eigentlich auch alles in Betragsstriche setzen und hätte damit doch schon die absol. Konvergenz gezeigt?

Konvergenz der Reihenglieder gegen Null ist notwendig, aber doch nicht hinreichend für Reihenkonvergenz. Im vorliegenden Fall etwa divergiert (!) die Reihe der Beträge, d.h., die Reihe 2) ist nicht absolut konvergent.

Zitat:

Original von Alina H.
(Frage 3):
Hierbei müsste ich doch eigentlich n+1 rechnen, um den Grenzwert zu bestimmen?

Der Unsinn wird nicht dadurch besser, dass du ihn wiederholst. "n+1 rechnen" ist doch keine Beschreibung, der man irgend etwas vernünftiges entnehmen kann. Forum Kloppe

Forum Kloppe

03.02.2016, 12:01

Alina H.

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Ah ok danke!
Aber verstehe leider noch nicht ganz warum diese Reihe nicht absolut. konvergiert. Wo ändert sich denn was mit den Betragsstrichen? Kannst du mir helfen? Gott

Gott

Ja, n+1 ist ziemlich blöd ausgedrückt. Was ich damit meinte ist einfach, dass ich doch eigentlich den limes für n -> unendlich laufen lassen müsste. Irgendwie kapier ich einfach die Darstellung nicht Hammer

Hammer

Hammer

03.02.2016, 12:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von HAL 9000
Bei 2) betrifft es das Konvergenzverhalten der Reihe $\begin{align*} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{(n+1)\cdot (n-1)} \end{align*}$ .

Das Reihenglied kann man abschätzen $\begin{align*} \frac{n}{n^2-1} > \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n} \end{align*}$ . Und dann kann man mit dem Minorantenkriterium argumentieren, hinsichtlich der bekanntermaßen divergenten harmonischen Reihe $\begin{align*} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n} \end{align*}$ als Minorante.

Zitat:

Original von Alina H.
Was ich damit meinte ist einfach, dass ich doch eigentlich den limes für n -> unendlich laufen lassen müsste.

Ich weiß immer noch nicht, worauf du eigentlich hinauswillst. Stelle vollständige Zusammenhänge dar, d.h. für welchen Term willst du den Grenzwert $\begin{align*} n\to\infty \end{align*}$ betrachten, und wozu (im Sinne der Aufgabenstellung)?

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