Berechnungen um regelmäßiges 5-Eck

02.02.2016, 17:56

paullukas

Berechnungen um regelmäßiges 5-Eck

Guten Tag, ich bin neu hier im Forum und möchte vorab bemerken, dass ich eher ein Mathematik-Laie bin.

Kürzlich haben sich jedoch bei mir ein paar Rechenaufgaben aufgetan, die ich gerne lösen möchte. Ich möchte diese Aufgaben dazu nutzen mein mathematisches Wissen (Stand etwa 6.Klasse) etwas zu erweitern. Ich habe mich in den letzten Wochen ein wenig auf wikipedia und anderen 'Sachhomepages' eingelesen und hoffe das Gelesene nun korrekt zur Anwendung bringen zu können.

Die erste Aufgabe an der ich mich versuche ist die hier beigefügte Skizze zu Grunde gelegt:

[attach]40725[/attach]

Ich würde hier gerne die Seitenlängen a,b des Dreiecks $\begin{eqnarray*} \overline{AEF} \end{eqnarray*}$ bzw. a‘,b‘ des Dreiecks $\begin{eqnarray*} \overline{CDG} \end{eqnarray*}$ ermitteln.

Es ist lediglich die Seitenlänge des 5-Ecks: c = 18cm gegeben.

Meine Überlegungen zum Dreieck AEF:
Da in einem regelmäßigen 5-Eck alle Innenwinkel 108° groß sind, verbleiben für den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \overline{AEF} \end{eqnarray*}$ 72°.
Mit dem Sinussatz ermittle ich nun die Seitenlänge a... a=18*sin(72°) = 17,119cm
Auf die gleiche Weise käme ich auf die Seitenlänge b... b=18*sin(18°) = 5,562cm

Zum Dreieck $\begin{eqnarray*} \overline{CDG} \end{eqnarray*}$

Ich bin mir bei diesem nicht sicher, ob der Innenwinkel des 5-Ecks bei Punkt D die 180° genau in der Hälfte teilt, dann blieben 36° für den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ des Dreiecks $\begin{eqnarray*} \overline{CDG} \end{eqnarray*}$ .

Also versuch ich einen anderen Ansatz.
Also die Höhenlinie des Fünfecks befindet sich auf 'AB/2' dazu rechne ich nun die Seitenlänge b des Dreiecks $\begin{eqnarray*} \overline{AEF} \end{eqnarray*}$ , und ich erhalte die Seitenlänge b‘, danach kann ich Pythagoras anwenden.
a'= $\begin{eqnarray*} \sqrt{18^2-14,562^2} \end{eqnarray*}$ = 10,581cm

Sind meine Ansätze soweit richtig?

02.02.2016, 18:26

riwe

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RE: Berechnungen um regelmäßiges 5-Eck
Freude

der Winkel ist 36° Freude

02.02.2016, 18:42

paullukas

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aha, na dann dürfte mein 2.Ansatz auch richtig sein.

da a' = 18*sin(36°) = 10,580cm (der unterschied von 0,001 liegt am runden bei der Seitenlänge b)

03.02.2016, 09:32

paullukas

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kleine Frage, wenn ich nun die Länge von $\begin{eqnarray*} \overline{FG} \end{eqnarray*}$ berechnen möchte. liege ich da mit folgenden Ansatz richtig: $\begin{eqnarray*} \overline{FG} =\sqrt{(2b+c)^2+(a+a')^2} \end{eqnarray*}$

03.02.2016, 09:50

HAL 9000

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Ja, ist richtig.

Falls du dich auch für exakte Werte interessierst: Für das Fünfeck ganz interessant sind die speziellen Winkelfunktionswerte

$\begin{align*} \sin\left(18^{\circ}\right) = \cos\left(72^{\circ}\right) = \frac{\sqrt{5}-1}{4} \end{align*}$ und $\begin{align*} \sin\left(54^{\circ}\right) = \cos\left(36^{\circ}\right) = \frac{\sqrt{5}+1}{4} \end{align*}$ .

Die "komplementären" Werte, gewonnen über den trigonometrischen Pythagoras $\begin{align*} \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \end{align*}$ , sind dann nicht mehr so schön:

$\begin{align*} \sin\left(72^{\circ}\right) = \cos\left(18^{\circ}\right) = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} \end{align*}$ und $\begin{align*} \sin\left(36^{\circ}\right) = \cos\left(54^{\circ}\right) = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} \end{align*}$ .

03.02.2016, 11:11

paullukas

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Vielen Dank für die Antworten, soweit bin ich schon mal froh, dass ich diese einfachen Berechnungen hinkriege. Es wird noch um ein vielfaches komplizierter, weshalb ich gerade dabei bin mir das ganze in Geogebra in ein Koordinatensystem zu zeichnen. Ich habe dabei den Punkt F als (0,0) definiert.

Jetzt habe ich die Strecke $\begin{eqnarray*} \overline{FG} \end{eqnarray*}$ als Diagonale des nicht ganz fertiggezeichneten Rechtecks definiert+eingezeichnet, in welchen sich das 5-Eck befindet. Daher müsste der Umkreisradius dieses Rechtecks dann $\begin{eqnarray*} \frac{\overline{FG}}{2} \end{eqnarray*}$ = 20,097 sein. Ich habe nun einen Gerade mit 90° von $\begin{eqnarray*} \overline{AB} \end{eqnarray*}$ zum Umkreismittelpunkt gezeichnet, dabei erhielt ich ein neues Dreieck $\begin{eqnarray*} \overline{FHI} \end{eqnarray*}$ .
[attach]40745[/attach]

ich hätte jetzt felsenfest gedacht das $\begin{eqnarray*} \overline{FH} \end{eqnarray*}$ eigentlich die Hälfte der Seitenlänge des Rechtecks hätte sein müssen. (Also (b*2+c)/2 =14,562cm)
Habe nun $\begin{eqnarray*} \overline{FH} \end{eqnarray*}$ mit dem Sinussatz berechnet mit 20,097*sin45° = 14,211cm
Das ist doch ein deutlich Unterschied. Habe ich irgendwo einen Denk bzw. Rechenfehler?

03.02.2016, 11:15

HAL 9000

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Wie kommst du auf 45° ? Das stimmt nur im Quadrat - dein Rechteck ist aber kein Quadrat. unglücklich

03.02.2016, 13:52

paullukas

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ach ein Rechteck...ähm also leite ich mir den Winkel bei Punkt F mit dem Kosinussatz her?

$\begin{eqnarray*} cos(\alpha) = \frac{27.7^2+40.193^2-29.124^2}{2×29.124×40.193} \end{eqnarray*}$

€dit: ist glaub ich falsch das war der Winkel bei Punkt G denke ich...also $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$

in wolfram alpha eingegeben bekomme ich cos(alpha) = 0.655469
wie wandelt sich das den nun in meine gesuchten Grad um?

03.02.2016, 14:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von paullukas
$\begin{eqnarray*} cos(\alpha) = \frac{27.7^2+40.193^2-29.124^2}{2*29.124*40.193} \end{eqnarray*}$

Da stimmt was nicht mit dem Einsetzen der Seitenlängen in den Kosinussatz. unglücklich

Warum aber überhaupt Kosinussatz? In dem rechtwinkligen Dreieck geht es auch wesentlich weniger rechenlastig.

03.02.2016, 14:18

paullukas

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überseh ich da was?
Also wenn ich die Länge von FH berechnen will, fehlen mir doch noch ein paar Angaben. Also ich kenne soweit nur c' = 20,097cm
und weiß lediglich das $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ 90° sind das reicht doch noch nicht?

und ja in der obigen Formel ist tatsächlich etwas durcheinandergekommen...während der Arbeit zusammengebastelt.

03.02.2016, 14:26

HAL 9000

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Warum so ein großes Brimborium:

Wenn $\begin{align*} I \end{align*}$ der Mittelpunkt von $\begin{align*} FG \end{align*}$ ist, dann gilt nach Strahlensatz $\begin{align*} |FH| = \frac{|FI|}{|FG|}\cdot |FJ| = \frac{1}{2}|FJ| \end{align*}$ , wobei ich mit $\begin{align*} J \end{align*}$ den Schnittpunkt der Geraden $\begin{align*} FB \end{align*}$ und $\begin{align*} CG \end{align*}$ meine (rechte untere Rechteckecke, von dir nicht eingezeichnet).

Letztlich also $\begin{align*} |FH| = \frac{2b+c}{2} = b + \frac{c}{2} \end{align*}$ .

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