Linearität püfen

02.02.2016, 20:00

Schokocroisson

Linearität püfen

Wir hatten eine Aufgabe wo wir folgende Funktion auf Linearität prüfen sollten:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{\varphi}: \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x+y \\ x-y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Das ganze habe ich stur nach Definition gemacht:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{\varphi}(v+\lambda\cdot w)= \overrightarrow{\varphi}(v)+\overrightarrow{\varphi}(\lambda\cdot w) \end{eqnarray*}$ .

Der Übungsleiter hat uns allerdings folgende Alternative vorgeschlagen, welche ich nicht nachvollziehen kann:

Es gilt

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{\varphi}: \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x+y \\ x-y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} B_1=\{e_1,e_2\} \end{eqnarray*}$ die Standardbasis, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{\varphi} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{\varphi} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow {B_1}_(\overrightarrow{\varphi})_{B_{1}}= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also ist

$\begin{eqnarray*} {B_1}_(\overrightarrow{\varphi})_{B_{1}}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y \\ x-y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Damit soll die Funktion nun linear sein. Das verstehe ich nicht. Warum habe ich damit die Linearität gezeigt verwirrt

02.02.2016, 21:24

.unknown.

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Ich glaube, was sich hier zu Nutze gemacht wird, ist die Tatsache, dass linear unabhängige Vektoren unter linearen Abbildungen wieder linear unabhängig sind.

Sowohl
$\begin{eqnarray*} \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$

als auch
$\begin{eqnarray*} \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$

sind linear unabhängig und somit die Abbildung linear.

03.02.2016, 01:53

strassenbahn

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Zitat:

Original von .unknown.
Ich glaube, was sich hier zu Nutze gemacht wird, ist die Tatsache, dass linear unabhängige Vektoren unter linearen Abbildungen wieder linear unabhängig sind.

Das ist im Allgemeinen nicht richtig (sondern genau für die injektiven linearen Abbildungen).

Man betrachte die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ über den selben Vektorräumen. Hier ist das Bild der Standardbasis definitiv nicht linear unabhängig.

Jede Abbildung die sich durch eine Matrix darstellen lässt, d.h. $\begin{eqnarray*} f: V \to W \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(v) = Mv \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} M \in K^{dim W * dim V} \end{eqnarray*}$ ist linear.
Das habt ihr entweder in der Vorlesung in dieser Form besprochen, oder es lässt sich leicht aus euren Ergebnissen in der Vorlesung herleiten.

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