Distribution und Testfunktion

02.02.2016, 19:38

YYnerdiQ

Distribution und Testfunktion

Hallo und zwar habe wir zur Prüfungszulassung (Zusatzaufgaben) folgende Multiplechoice Fragen bekommen. Und ich wollte mich mal erkundigen ob ich das so richtig gemacht/verstanden habe.

[attach]40739[/attach]

Bei 3) bin ich mir nicht sicher, da mich das "²" ein wenig stutzig macht. Deswegen tendiere ich da eher zu nein, aber $\begin{eqnarray*} \phi(0) \end{eqnarray*}$ wäre ja eigentlich eine Distribution von $\begin{eqnarray*} T(\phi) \end{eqnarray*}$ .
4) ist per Definition gegeben, zumindest wenn ich das nicht komplett falsch verstanden habe.
7) schließt 6) ja aus.

8) Ich weiß zwar aus der Definition das die Funktion aufgrund dessen, dass sie eine Distribution handelt stetig diffbar ist. Bzw wenn ich das integral bestimme und das gleich null ist, so ist die Funktion ja auch gleich null (lt. Def.) das heißt ja, dass ich sobald ich null erhalte mich ja ausserhalb der kompakten menge befinde, also ist darüber ja quasi definiert, dass eine Distribution in dem Fall einen kompakten Träger hat. Worauf ich hinaus will ist, dass wenn das der Fall ist kann ich ja einfach die Definition anwenden die besagt das 8) für Multiindizes stimmt sobald ein kompakter Träger vorhanden ist. Ich hoffe man konnte meinem verwirrendem Gedankengang folgen.

9)10)11) weiß ich ehrlich gesagt nicht genau wäre nett wenn ich da einen Hinweis bekomme.

12-15) Hier verwirrt mich die Definition ein wenig $\begin{eqnarray*} \lim_{j \to \infty} sup ||\frac{\delta^a}{\delta x^a}(\phi_j(x)-\phi(y))=0|| \end{eqnarray*}$ bzw habe ich die von hier. j ist ja unser ypsylon aber wenn das gegen unendlich läuft müssten ja alle der Terme gegen null gehen?!
Danke schonmal für die Hilfe

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02.02.2016, 20:20

Guppi12

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Hallo YYnerdiQ,

1),2) hast du natürlich richtig.
3) hast du auch richtig, aber deine Begründung gefällt mir nicht. Wie ist es denn hier mit Linearität?
4) ich weiß nicht, welche Definition du verwendest. Nach der, die ich kenne, ist das nicht die Definition. Richtig ist die Antwort trotzdem. Integrieren gegen eine lokalintegrierbare Funktion ist immer eine Distribution. Das hier ist ein solcher Fall. Gegen welche Funktion wird denn integriert?
5) richtig.

Warum genau soll die 7) die 6) ausschließen? Warum ist die 7) bei dir richtig?

Tut mir Leid, deinem Gedankengang bei 8) kann ich nicht folgen. Schau dir nochmal genau an, wie $\begin{eqnarray*} \mathcal D \end{eqnarray*}$ definiert ist. Dann kannst du 8) beantworten.

Das hilft auch bei 9,10,11. Schau dir erst nochmal die Definition an und gib sie dann hier wieder. Dann können wir weiter über diese Aufgaben reden.

Zu den letzten Aufgaben: Was ist hier $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ? Beachte außerdem alles, was für Konvergenz vorliegen muss. Es gibt auch eine Bedinung an die Träger der Funktionen. Damit kannst du 13) schonmal abhaken, hast du aber auch richtig angekreuzt.
12) hast du richtig, aber ich kenne deine Begründung natürlich nicht.

Zu 14,15 müsstest du mal deinen Gedankengang schildern. Eines davon ist jedenfalls richtig, das andere falsch (angekreuzt).

02.02.2016, 21:13

YYnerdiQ

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Danke schonmal für die Hilfe.
Erstmal zu den letzten 4, da wir da auch die Def. in der VL haben.
(hat ein bisschen länger gedauert musste es leider abtippen unglücklich

)

Definition 23.1 (Testfunktionen,KonvergenzvonTestfunktionen). Wir nennen $\begin{eqnarray*} \mathcal D(\mathbb R^n) = C_{c}^{\infty} (\mathbb R^n) \end{eqnarray*}$ den Raum der Testfunktionen.Wir sagen,dass eine Folge $\begin{eqnarray*} \varphi_v \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathcal D(\mathbb R^n) \end{eqnarray*}$ konvergiert,geschrieben (*) $\begin{eqnarray*} \varphi_v \to^D \varphi \end{eqnarray*}$ wenn folgendes gilt:
i) Es gibt $\begin{eqnarray*} K \subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ kompakt, so dass $\begin{eqnarray*} supp \varphi \subset K \end{eqnarray*}$ und für alle v gilt $\begin{eqnarray*} supp(\varphi_v \subset K \end{eqnarray*}$
und
ii) für jeden Multiindex $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb N^n \end{eqnarray*}$ konvergiert die Folge $\begin{eqnarray*} \mathcal D^{\alpha} \varphi_v \end{eqnarray*}$ gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} \mathcal D^{\alpha} \varphi \end{eqnarray*}$

So das heißt ja wenn (*) gelten soll müssen ja die Träger von den $\begin{eqnarray*} \varphi_v , \varphi \end{eqnarray*}$ in der gleichen kompakten Menge sein. Hier dann K. Soweit so gut. Zudem müssen ja alle Ableitungen von $\begin{eqnarray*} \varphi_v , \varphi \end{eqnarray*}$ gegen die entsprechenden Ableitungen konvergieren.
Wenn ich mir also ansehe was oben in der Aufgabenstellung steht heißt das ja dann für mich das der Träger von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ nicht in der kompakten Menge ist?!

02.02.2016, 21:21

Guppi12

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Zitat:

Wenn ich mir also ansehe was oben in der Aufgabenstellung steht heißt das ja dann für mich das der Träger von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ nicht in der kompakten Menge ist?!

Von welcher kompakten Menge sprichst du denn hier? Und was ist $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ in diesem Fall speziell?

02.02.2016, 21:32

YYnerdiQ

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$\begin{eqnarray*} K \subset \mathcal D \end{eqnarray*}$ also von der Kompakten Menge K. $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist wenn ich das richtig verstanden habe eine Trägerfunktion.

02.02.2016, 21:43

Guppi12

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Du scheinst da noch größere Verständnisprobleme zu haben. Es gibt nicht "die kompakte Menge $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ". In der Definition der Konvergenz taucht ein $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ auf, das musst du selbst angeben, deswegen fragte ich dich, was das hier sein soll.

Die kompakten Mengen, von denen wir hier sprechen, sind sämtlich Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ . Wenn wir sagen, dass $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ getragen sind, heißt das nicht etwa, dass $\begin{eqnarray*} \varphi\in K \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ enthält eben keine Distributionen! Es heißt, dass $\begin{eqnarray*} \varphi(x) = 0 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} x\notin K \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist der potentielle Grenzwert der $\begin{eqnarray*} \varphi_v \end{eqnarray*}$ . In unserem Fall einfach die Nullfunktion, denn wir sollen ja zeigen (oder widerlegen), dass es sich um Nullfolgen in $\begin{eqnarray*} \mathcal D \end{eqnarray*}$ handelt.

Es geht also um die Fragestellung, ob alle $\begin{eqnarray*} \varphi_v \end{eqnarray*}$ in einem gemeinsamen Kompaktum getragen sind und ob $\begin{eqnarray*} \lim_{v\to\infty}\|D^{\alpha}\varphi_v\|_\infty = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \alpha\in \mathbb N^n \end{eqnarray*}$ .

Denn dies ist genau die Definition von $\begin{eqnarray*} \varphi_v\to 0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathcal D \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe, das hilft dir beim Verständnis etwas weiter.

02.02.2016, 21:59

YYnerdiQ

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$\begin{eqnarray*} \varphi(x)=0, x \notin K \end{eqnarray*}$ , dass würde für 12,14,15 heißen:
Ist $\begin{eqnarray*} x \notin K \end{eqnarray*}$ dann würde das ja für alle gelten, außer für 13. Jetzt habe ich es mir evtl ein bisschen zu einfach gemacht.

02.02.2016, 22:02

Guppi12

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Was würde für alle gelten? Ich versuche dir ja wirklich zu helfen, aber du machst es mir nicht leicht.

02.02.2016, 22:07

YYnerdiQ

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Das weiß ich auch sehr zu schätzen, das Problem ist, das wir es heute erst in der VL hatten und ich somit leider nicht so vertraut damit bin. Abgabe ist leider schon morgen früh, sonst hätte ich mich da schon besser eingelesen....

Dann würde für alle gelten, dass $\begin{eqnarray*} \varphi(x) = 0 \end{eqnarray*}$ ist. Das wollte ich damit sagen nur halt nicht für 13.

02.02.2016, 22:14

Guppi12

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Aber $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist doch hier eh die Nullfunktion, die ist hier nicht das Problem. Wir müssen nachweisen (oder widerlegen), dass alle $\begin{eqnarray*} \varphi_v \end{eqnarray*}$ in einem gemeinsamen Kompaktum getragen sind.

Du hast schon richtig erkannt, dass es da ein Problem mit der 13 gibt. Im allgemeinen sind die $\begin{eqnarray*} \phi_v \end{eqnarray*}$ hier wohl nicht in einem gemeinsamen Kompaktum getragen.

Wie ist das mit den anderen. Gibt es da ein solches Kompaktum, in dem alle getragen sind? Wenn ja, welches?

02.02.2016, 22:34

YYnerdiQ

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Ich versuche mir das jetzt mal mit $\begin{eqnarray*} supp(\varphi) \end{eqnarray*}$ aus der gestrigen VL zu erklären. Wenn ich eine Trägerfunktion habe und von dieser eine Konstante abziehe/addiere (hier v) dann verschiebe ich den Graphenn ja so, dass ich kein Kompaktum mehr habe. So stelle ich mir das bei der 13 vor. Bei den anderen verschiebt sich zwar der Graph aber an den Rändern der Trägerfunktion bleibt es ja null womit es immer dasselbe Kompaktum ist

[attach]40737[/attach]

So ungefähr

02.02.2016, 22:44

Guppi12

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Auch bei der 13 ist jedes einzelne $\begin{eqnarray*} \varphi_v \end{eqnarray*}$ in einem Kompaktum getragen. Wir betrachten hier ja nicht $\begin{eqnarray*} \varphi -v \end{eqnarray*}$ (das wäre die Funktion, die du gezeichnet hast), sondern $\begin{eqnarray*} x\mapsto \varphi(x-v) \end{eqnarray*}$ . Wir setzen also statt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ einfach den Wert $\begin{eqnarray*} x-v \end{eqnarray*}$ in die Funktion ein. Das entspricht einer Verschiebung von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ nach rechts um $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ Einheiten.

02.02.2016, 22:50

YYnerdiQ

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Ich werde es heute nicht mehr verstehen Hammer

ich weiß ich kann das nciht erwarten aber es wäre super wenn du mir die richtigen Lösungen sagen könntest. Vielen Dank für die Geduld und Hilfe, ich werde mir dann morgen früh nach der Abgabe nochmal alles ansehen evtl machts dann endlich klick.
Gute Nacht Wink

02.02.2016, 23:05

Guppi12

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Das ist nicht mit unserem Boardprinzip vereinbar, tut mir Leid. Ich denke auch nicht, dass es sinnvoll wäre, die Prüfungszulassung in dieser Art zu umgehen. Solcherlei Voraussetzungen stellen in der Regel die Mindestanforderung, um mit genügend Wissen in die Prüfung zu gehen, um überhaupt eine Chance zu haben, diese zu bestehen. So wie ich die Situation zur Zeit einschätze, solltest du dir auch wirklich gut überlegen, ob du mit deinem aktuellen Wissenstand in eine Prüfung gehen möchtest. Wenn ich ganz ehrlich bin (und etwas anderes hilft dir nicht), dann sehe ich da im Moment noch schwarz.

Außerdem habe ich dir ja schon bei den meisten Lösungen gesagt, ob deine Antworten richtig sind oder nicht. Ich wünsche dir viel Erfolg beim weiteren Lernen und wir können uns gerne morgen weiter mit den Aufgaben auseinandersetzen.

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