Irrationale Zahlen

02.02.2016, 22:56	maik theissen	Auf diesen Beitrag antworten »
Irrationale Zahlen Eine Frage rein aus Interesse: Existiert eine rationale Zahl, die die Summe oder das Produkt zwischen 2 voneinander unabhängigen irrationalen Zahlen ist? Ich denke nicht oder?
02.02.2016, 22:58	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo maik theissen, was meinst du denn mit unabhängig?
03.02.2016, 21:48	maik theissen	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, dass die eine nicht über die andere definiert ist. Also logisch, dass $\begin{eqnarray} \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \frac{2\pi }{\pi } = 2 \end{eqnarray}$ . Aber das mein ich natürlich nicht.
04.02.2016, 01:43	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Irrationale Zahlen Fuer Summen und Differenzen kann man eine Hamelbasis von $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ueber $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ betrachten: $\begin{eqnarray} B=\{1\}\cup\{b_i\}_{i\in I} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} b_i\in\,\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}. \end{eqnarray}$ Jedes $\begin{eqnarray} a\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ hat dann eine eindeutige Darstellung $\begin{eqnarray} a=r+\sum_{\text{endl.}}\alpha_i b_i. \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} r,\alpha_i\in\mathbb{Q}. \end{eqnarray}$ Man koennte $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ den Rationalteil von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum_{\text{endl.}}\alpha_i b_i \end{eqnarray}$ den Irrationalanteil von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ bzgl. $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ nennen. $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ist genau dann rational, wenn der Irrationalteil verschwindet. Die Summe von zwei irrationalen Zahlen ist also genau dann rational, wenn beide bis aufs Vorzeichen den gleichen Irrationalteil haben. Geistreichere Beispiele als $\begin{eqnarray} (2-\sqrt{2})+(1+\sqrt{2})=3 \end{eqnarray}$ gibt es also nicht.
04.02.2016, 23:56	maik theissen	Auf diesen Beitrag antworten »
alles klar, danke
05.02.2016, 10:30	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Produkt: Seien $\begin{eqnarray} x,y \in \mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p, q \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} xy = \frac p q \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} x = \frac 1 y \cdot \frac { p } {q} \end{eqnarray}$ . Das heißt auch hier gibt es nicht viel geistreicheres als das Inverse der Zahl zu nehmen und um einen rationalen Faktor zu modifizieren.
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05.02.2016, 11:33	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich biete mal folgendes an: $\begin{align} 4\cos\left( \frac{3}{5}\pi \right) + \sqrt{5} = 1 \end{align}$ . Ist doch optisch "vollkommen klar", dass die Summanden $\begin{align} 4\cos\left( \frac{3}{5}\pi \right) \end{align}$ und $\begin{align} \sqrt{5} \end{align}$ "voneinander unabhängig" sind. Oder $\begin{align} \sqrt{2} - \tan\left( \frac{\pi}{8} \right) = 1 \end{align}$ , und und und...

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