Funktion mit Konjugation komplex differenzierbar?

03.02.2016, 06:06

Xardes

Funktion mit Konjugation komplex differenzierbar?

Hallo,

Wie genau sieht es mit der komplexen Differenzierbarkeit aus, wenn man eine Verkettung von Funktionen hat, von denen eine die komplexe Konjugation ist?

Ich weiß, dass die komplexe Konjugation nicht komplex differenzierbar ist. Habe ich eine Verkettung von Funktionen, so folgt mit der Kettenregel, dass die Ableitung gleich der inneren Ableitung multipliziert mit der äußeren ist. Folgt daraus direkt, dass Funktionen, bei denen eine der verketteten Funktionen die komplexe Konjugation ist nicht komplex differenzierbar sind?

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{1}{1+\overline{z}} f'(z)=(\overline{z})' \cdot (\frac{-1}{(z+1)^2}) \end{eqnarray*}$

Oder ist das nicht so einfach?

Schöne Grüße,
Xardes

03.02.2016, 09:29

Leopold

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Ich würde es so sagen: Wird eine nicht differenzierbare Funktion mit einer differenzierbaren verkettet, so ist die Differenzierbarkeit der Verkettung nicht gewährleistet. Aber natürlich kann die nachgeschaltete Funktion die Boshaftigkeiten der vorgeschalteten neutralisieren. Ein einfaches Beispiel aus dem Reellen:

$\begin{align*} f(x) = |x| \, , \ \ g(x) = 1 + x^2 \end{align*}$

$\begin{align*} f \end{align*}$ ist bei $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ nicht differenzierbar, $\begin{align*} g \circ f \end{align*}$ aber sehr wohl.

Es ist also immer eine Einzelfallprüfung vorzunehmen.

03.02.2016, 10:15

HAL 9000

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Allgemeine Aussagen über beliebige Verkettungen sind sicher schwierig. In dem besonderen Fall $\begin{align*} g(z):=f(\bar{z}) \end{align*}$ mit einer holomorphen Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ kann man aber (über die Cauchy-Riemann-Gleichungen) ziemlich einfach nachweisen, dass $\begin{align*} g \end{align*}$ nur dann auch holomorph sein kann, wenn $\begin{align*} f \end{align*}$ eine konstante Funktion ist.

03.02.2016, 10:42

Guppi12

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Ein wichtiges Beispiel, wo eine Verkettung, die Konjugation beinhaltet doch holomorph ist, ist das folgende:

Ist $\begin{eqnarray*} f:U\to \mathbb C \end{eqnarray*}$ holomorph, so ist $\begin{eqnarray*} z\mapsto \overline{f(\overline z)} \end{eqnarray*}$ holomorph auf $\begin{eqnarray*} \overline U \end{eqnarray*}$ .

Diese Eigenschaft findet zum Beispiel Anwendung beim Schwarzschen Spiegelungsprinzip.

03.02.2016, 15:12

Xardes

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Danke für die Antworten.

Dachte ich mir fast, dass es nicht so einfach ist. Wie würde ich denn die komplexe Differenzierbarkeit bei der Beispielfunktion oben prüfen? Gibt es Tricks, wie man am Besten vorgeht, wenn die Funktion Konjugation enthält?

03.02.2016, 15:24

HAL 9000

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Nun ja, dein Beispiel fällt ja hier rein

Zitat:

Original von HAL 9000
In dem besonderen Fall $\begin{align*} g(z):=f(\bar{z}) \end{align*}$ mit einer holomorphen Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ kann man aber (über die Cauchy-Riemann-Gleichungen) ziemlich einfach nachweisen, dass $\begin{align*} g \end{align*}$ nur dann auch holomorph sein kann, wenn $\begin{align*} f \end{align*}$ eine konstante Funktion ist.

sonst hätte ich es ja gar nicht erwähnt. smile

D.h.: Cauchy-Riemann hilft beim Nachweis, sei es nun für allgemein holomorphe $\begin{align*} f \end{align*}$ oder auch "nur" bei deinem speziellen $\begin{align*} f \end{align*}$ hier.

03.02.2016, 16:51

Xardes

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Ich dachte, es geht vielleicht noch einfacher. Ich würde das in diesem Fall so machen:

$\begin{eqnarray*} & \frac{1}{1 + \overline{z}} &= \frac{1}{1 + x -iy} &= \frac{1+x}{(1 + x)^2 + y^2} + \frac{yi}{(1 + x)^2 + y^2} \end{eqnarray*}$

Dann ist der erste Teil u(x,y) und der zweite v(x,y) und man kann zeigen, dass dies die Cauchy Riemann Gleichungen nicht erfüllt. Wobei das halt noch ein bisschen Gefummel ist.. Dann wäre

$\begin{eqnarray*} u_x(x,y) = \frac{(1 + x)^2 + y^2 - (1+x)(2x+2)}{((x+1)^2 + y^2)^2} v_y(x,y) = \frac{i((x+1)^2 + y^2) - 2iy^2}{((x+1)^2 + y^2)^2} \end{eqnarray*}$

Naja, das eine ist reell, das andere imaginär, das kann wohl nur gleich sein, wenn der Zähler 0 ist... Was wiederum nur bei -1 der Fall ist, wo die Funktion aber nicht definiert ist.

Passt das? Wie genau zeigt man sowas denn allgemein für eine beliebige holomorphe Funktion mit Cauchy Riemann?

03.02.2016, 16:56

HAL 9000

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Ich weiß nicht, was das $\begin{align*} i \end{align*}$ in deinem $\begin{align*} v_y \end{align*}$ zu suchen hat: $\begin{align*} u(x,y) \end{align*}$ als Realteil und $\begin{align*} v(x,y) \end{align*}$ als Imaginärteil sind rein reelle Funktionen, so auch ihre diversen partiellen Ableitungen. unglücklich

Um es deutlich klarzustellen: Es ist $\begin{align*} f(z)=f(x+iy) = u(x,y) + i\cdot v(x,y) \end{align*}$ , d.h. in deinem Fall ist

$\begin{align*} u(x,y) = \frac{1+x}{(1+x)^2+y^2} \end{align*}$ und $\begin{align*} v(x,y) = \frac{y}{(1+x)^2+y^2} \end{align*}$ (ohne "i" !!!)

03.02.2016, 21:26

Xardes

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Das passiert, wenn man keine Pausen macht beim lernen. *seufz*

Für die ersten Cauchy Gleichung ux(x,y)=vy(x,y) bekomme ich raus, dass es erfüllt ist, falls x=-1 und die zweite Gleichung ist bei mir immer erfüllt. Damit wäre die Funktion komplex differenzierbar, falls x=-1 (und y!=0, weil Singularität) und damit in keiner Umgebung komplex differenzierbar und damit nirgendwo holomorph. Ist das Ergebnis richtig, oder muss ich meine neue Rechnung noch posten, weil da noch etwas nicht stimmt?

Danke nochmals für die Hilfe.
Xardes

03.02.2016, 21:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von Xardes
und die zweite Gleichung ist bei mir immer erfüllt.

Nein - überprüfe die Vorzeichen!

03.02.2016, 22:02

Xardes

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Stimmt, für die zweite Gleichung bekomme ich ebenfalls x=-1 raus (-2-2x=2x+2).

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