Additivität und Homogenität bei DGLs (Regelungstechnik)

03.02.2016, 13:23	colin	Auf diesen Beitrag antworten »
Additivität und Homogenität bei DGLs (Regelungstechnik) Meine Frage: Hallo, ich stelle hier zum ersten mal eine Frage, da ich weder in Büchern, noch im Internet etwas gefunden habe, was mir konkret weiterhelfen konnte. Ich habe seit deisem Semester Regelungstechnik im Studium, wo wir gestern Aufgaben bekamen, Ausdrücke unter anderem auf Linearität zu prüfen. Die Bedingungen hierfür sollen Homogenität sein, die erfüllt ist durch S[cu]=cS[u] und Additivität erfüllt durch S[u1+u2]=S[u1]+ S[u2] bzw. beide Bedingungen zusammengefasst als S[c1u1 + c2u2] = c1S[u1] + c2S[u2] wobei S das System, u das EIngangssignal und c ein Faktor (soweit ich jetzt rausgefunden habe ein Verstärkungsfaktor) sind. Ich habe mir jetzt schon ziemlich viel darüber im Internet angeschaut und habe auch einigermaßen verstanden, was die Bedingungen in Blockschaltbildern oder in irgendwelchen Beispielen aussagen, allerdings bekomme ich es einfach nicht hin, die Formeln auf die Aufgaben anzuwenden. Meine Ideen: Bsp.: y(t) = (u(t)+1)cos(2t) ich habe bisher alles mal schrittweise aufgeschrieben was ich denke wie es ist: y(t)=S[u] cS[u] = cy(t) = c(u(t)+1)cos(2t) c1S[u1] + c2S[u2]= c1(u1(t)+1)cos(2t)+ c2(u2(t)+1)cos(2t) und nun weiss ich nicht mehr, wie es weitergehen soll. Irgendwie soll ja gezeigt werden, dass der letzte Ausdruck gleich oder ungleich S[c1u1 + c2*u2] ist. Aber wie kann ich die Ausgangsgleichung in diese Form bringen. Mir ist an dieser Stelle nicht klar, wie es zu unterscheiden ist, das S einmal auf u1 und u2 einzeln und einmal gemeinsam anzuwenden (falls man das so sagen kann) Es wäre sehr nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Viele Grüße
04.02.2016, 09:38	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast alles richtig aufgeschrieben. Ich schreibe es nochmals in LATEX auf: ----------------------------------------------------------------------------------------------- Ein Ausdruck S[u(t)] ist bezüglich des Eingangssignals u(t) linear, wenn gilt $\begin{eqnarray} S[c_1u_1(t)+c_2u_2(t)=c_1\cdot S[u_1(t)]+c_2S[u_2(t)] \end{eqnarray}$ Um die Linearität des speziellen Ausdruckes $\begin{eqnarray} S[u(t)]=(u(t)+1)\cdot cos(2t) \end{eqnarray}$ zu prüfen, muss man also beide Seiten der obigen Formel berechnen und vergleichen. Der Einfachheit halber schreibe ich anstelle von $\begin{eqnarray} u_1(t), u_2(t) \end{eqnarray}$ nur $\begin{eqnarray} u_1, u_2 \end{eqnarray}$ Linke Seite: $\begin{eqnarray} S[c_1u_1+c_2u_2]=(c_1u_1+c_2u_2+1)\cdot \cos(2t) \end{eqnarray}$ Rechte Seite: $\begin{eqnarray} c_1\cdot S[u_1]+c_2S[u_2]=c_1\cdot (u_1+1)\cdot \cos(2t)+c_2\cdot (u_2+1)\cdot \cos(2t) \end{eqnarray}$ Offenbar sind die linke und rechte Seite nicht identisch. Deshalb ist der Ausdruck S[u(t)] nicht linear. Um dies besser zu sehen, forme ich die rechte Seite noch etwas um: $\begin{eqnarray} c_1\cdot S[u_1]+c_2S[u_2]=\underbrace{(c_1u_1+c_2u_2+1)\cdot \cos(2t)}_{\text{Linke Seite}}+\underbrace{(c_1+c_2-1)\cdot \cos(2t)}_{\text{Das ist "zuviel".}} \end{eqnarray}$

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