Stammfunktion für mehrdimensionale Integrale

03.02.2016, 14:33

Haevelin

Stammfunktion für mehrdimensionale Integrale

Habe vergessen, wie ich die Stammfunktion einer Funktion über 2 Variablen bilde.

für x+ y
hätte ich:
1. Schritt: 0.5*x*x + y*x
2. Schritt: 0.5*x*x*y + 0.5*y*y*x

Ist das richtig?

03.02.2016, 14:42

IfindU

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RE: Stammfunktion für mehrdimensionale Integrale
Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y) = x+y \end{eqnarray*}$ kann kein Gradient sein. Fuer $\begin{eqnarray*} G : \mathbb R^2 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist der Gradient $\begin{eqnarray*} \nabla G: \mathbb R^2 \to \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , also zweidimensional.

03.02.2016, 14:48

Haevelin

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RE: Stammfunktion für mehrdimensionale Integrale
Ich meinte natürlich stochastisch die Verteilungsfunktion

03.02.2016, 14:57

HAL 9000

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OK, mal vom Kopf auf die Füße: Du hast die Dichte $\begin{align*} f(x,y) \end{align*}$ eines zweidimensional stetig verteilten Vektors $\begin{align*} (X,Y) \end{align*}$ gegeben und willst dessen Verteilungsfunktion $\begin{align*} F(x,y) = P(X\leq x,Y\leq y) \end{align*}$ bestimmen? Das geht nicht über "Stammfunktion", sondern über die zweidimensionale Integralfunktion

$\begin{align*} F(x,y) = \int\limits_{-\infty}^x \int\limits_{-\infty}^y f(u,v) ~ \dd v ~ \dd u \end{align*}$ .

Und dein $\begin{align*} f(x,y)=x+y \end{align*}$ gilt gewiss nicht für alle $\begin{align*} x,y\in\mathbb{R} \end{align*}$ , sondern sicher nur für ein Teilgebiet - ich würde mal spekulieren nur für $\begin{align*} 0\leq x\leq 1 \end{align*}$ und $\begin{align*} 0\leq y\leq 1 \end{align*}$ , und außerhalb dieses Quadrates Dichtewert 0, oder? Sowas ist natürlich zu beachten!

03.02.2016, 14:59

IfindU

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RE: Stammfunktion für mehrdimensionale Integrale
Leider habe ich keine Stochastik-Vorlesung gehoert, weiss also nicht was du meinst. Wenn jemand einspringen koennte, waere super.

Edit: Ich haette mal nicht so lange googlen sollen, ob ich denn was vernuenpftiges finde Big Laugh

03.02.2016, 15:04

Haevelin

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HAL_9000 hat natürlich recht, genau das meine ich. Stimmt dann meine Verteilungsfunktion?

03.02.2016, 15:08

Haevelin

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Wenn ich dann diese Funktion voraussetze, die HAL_9000 definiert hat, ist dann:

P(x<-0.5, y=0.5) = F(0; 0.5)
P(x<1.8; y<0.5) = F(1; 0.5) ?

03.02.2016, 15:16

HAL 9000

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Dein $\begin{align*} F(x,y) = \frac{xy(x+y)}{2} \end{align*}$ stimmt für $\begin{align*} 0\leq x\leq 1 \end{align*}$ und $\begin{align*} 0\leq y\leq 1 \end{align*}$ , außerhalb dessen stimmt sie i.a. nicht.

$\begin{align*} P(X<1.8;Y<0.5) = F(1.8;0.5) = F(1;0.5) \end{align*}$ ist Ok (wobei deine $\begin{align*} F \end{align*}$ -Formel nur auf den letzten Term angewendet werden darf).

Beim ersten Term $\begin{align*} P(X<-0.5; Y~{\color{red}=}~0.5) \end{align*}$ muss ich fragen: Schreibfehler? Oder Absicht? Was du dann betrachtest, gehört jedenfalls eher zu $\begin{align*} P(X<-0.5; Y~{\color{red}\leq}~0.5) \end{align*}$ . Ist aber angesichts des Endergebnisses egal, denn in beiden Fällen kommt welcher Wert heraus? Augenzwinkern