Punktweise und gleichmäßige Konvergenz

03.02.2016, 17:24

MrMask

Punktweise und gleichmäßige Konvergenz

Meine Frage:
Ich hatte eig angenommen, dass ich punktweise und gleichmäßige Konvergenz verstanden hätte.

Jetzt bin ich, aber vollkommen durcheinander und wollte einfach nochmal sicher gehen.

Meine Ideen:

$\begin{eqnarray*} |fn(x)-f(x)|<= Epsilon \end{eqnarray*}$ ist mir bekannt und das man durch

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } fn(x) \end{eqnarray*}$ auf f(x) kommt auch.

Jetzt hatten wir aber noch die Funktion

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } sup|fn(x) - f(x)|=0 \end{eqnarray*}$

Diese sagt doch aus, wenn Sie $\begin{eqnarray*} =0 \end{eqnarray*}$ ist, dass die Funktionsfolge gleichmäßig konvergiert. Wenn Sie also $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, ist die Folge dann punktweise konvergent? Oder habe ich mich jetzt total verwirren lassen.

03.02.2016, 17:35

10001000Nick1

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Wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \sup_{x\in D} |f_n(x)-f(x)|\neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt, dann kannst du damit nichts über punktweise Konvergenz aussagen. Das musst du mit der Bedingung $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} f_n(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in D \end{eqnarray*}$ überprüfen.

( $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ist der Definitionsbereich der Funktionen)

03.02.2016, 17:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von MrMask
Jetzt hatten wir aber noch die Funktion

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } sup|fn(x) - f(x)|=0 \end{eqnarray*}$

Redest du über $\begin{align*} \limsup_{n\to\infty} \left| f_n(x)-f(x) \right| = 0 \end{align*}$ oder über $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \sup\limits_x \left| f_n(x)-f(x) \right| = 0 \end{align*}$ ? Ich vermute letzteres, denn ersteres folgt direkt aus $\begin{align*} f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x) \end{align*}$ .

03.02.2016, 18:15

MrMask

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Also die Formel entspricht der Form von 10001000Nick1.

Kann ich die Formel für glm konv jetzt einfach so nutzen oder muss ich vorher noch etwas definieren?

Und wie zeige ich jetzt, das die Funktionsfolge nur pkt konv ist?

Evtl wäre für beides ein Beispiel nicht schlecht, dann verstehe ich das evtl eher.

Aber schonmal danke an euch beide für die schnellen Antworten

03.02.2016, 18:30

10001000Nick1

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Für punktweise Konvergenz überprüfst du, ob $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} f_n(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in D \end{eqnarray*}$ existiert. Wenn ja, ist $\begin{eqnarray*} f: D\to\mathbb R, f(x):=\lim_{n\to\infty} f_n(x) \end{eqnarray*}$ die Grenzfunktion.

Um jetzt gleichmäßige Konvergenz gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ zu zeigen/zu widerlegen, kannst du z.B. direkt die Definition benutzen.
Es gilt auch "Wenn eine Folge stetiger Funktionen gleichmäßig konvergiert, ist die Grenzfunktion auch stetig". Das ist manchmal hilfreich, um gleichmäßige Konvergenz zu widerlegen.

Mal zwei Beispiele, die du mal probieren und dann gern hier posten kannst:

$\begin{eqnarray*} f_n:[0,1]\to\mathbb R, f_n(x):=\frac{nx}{1+nx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_n:[\frac{1}{100},1]\to\mathbb R, g_n(x):=\frac{nx}{1+nx} \end{eqnarray*}$

(Bei diesen Beispielen siehst du auch: Es ist bei den Begriffen "gleichmäßige/punktweise Konvergenz" (wie eigentlich immer im Umgang mit Funktionen) sehr wichtig, welchen Definitionsbereich man betrachtet.)

Und wenn du noch mehr Beispiele suchst, dann findest du die haufenweise über Google etc. Augenzwinkern

03.02.2016, 21:06

MrMask

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Also wen ich ehrlich bin check ich es immer noch nicht.

Wenn ich jetzt f(x) ausrechne, komme ich auf den Wert 1.

Ist es dann pkt konv auf 1 ?

03.02.2016, 21:08

10001000Nick1

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Zitat:

Original von MrMask
Wenn ich jetzt f(x) ausrechne, komme ich auf den Wert 1.

Sicher? Für alle $\begin{eqnarray*} x\in[0,1] \end{eqnarray*}$ ?

03.02.2016, 22:08

MrMask

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Ich habe jetzt einfach nochmal ein bisschen im Internet recherchiert, da wir keinen Ansatz dazu in der Vorlesung bekommen haben.

Ich bin jetzt so vorgegangen.

Also ich habe jetzt erstmal geschaut, welche Werte ich für fn(0) und fn(1) rausbekomme, die Werte liegen alle in D, darauf hin kann ich die Grenzfunktion f(x) aufstellen. Danach überprüfe ich, ob glm konv auch zu trifft.

Stimmen, die Schritte so oder ist da schon wieder ein Gedankenfehler. Wenn ja könnte es mir jmd anhand eines Beispiels vll erklären.

P.S.: Sind f und g beide glm konv?

03.02.2016, 22:26

10001000Nick1

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Zitat:

Original von MrMask
Also ich habe jetzt erstmal geschaut, welche Werte ich für fn(0) und fn(1) rausbekomme,

Und was machst du dann damit? verwirrt

Zitat:

Original von MrMask
die Werte liegen alle in D

$\begin{eqnarray*} f_n(0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_n(1) \end{eqnarray*}$ sind Funktionswerte; wieso überprüfst du, ob die im Definitionsbereich liegen?

Zitat:

Original von MrMask
P.S.: Sind f und g beide glm konv?

Gleichmäßig konvergent können Funktionenfolgen sein, aber nicht die Grenzfunktionen.

Hier mal für die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ :
Bei der punktweisen Konvergenz überprüfen wir, ob für alle $\begin{eqnarray*} x\in[0,1] \end{eqnarray*}$ der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} f_n(x) \end{eqnarray*}$ existiert.
Für $\begin{eqnarray*} x\in(0,1] \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} f_n(x)=\lim_{n\to\infty} \frac{nx}{1+nx}=\lim_{n\to\infty} \frac{x}{\frac1n+x}=1 \end{eqnarray*}$ .
Für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} f(0)=\lim_{n\to\infty} 0=0 \end{eqnarray*}$ .

Der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} f_n(x) \end{eqnarray*}$ existiert also für alle $\begin{eqnarray*} x\in[0,1] \end{eqnarray*}$ ; damit ist die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ punktweise konvergent gegen die Grenzfunktion $\begin{eqnarray*} f:[0,1]\to\mathbb R, f(x)=\begin{cases} 1 & x\neq 0 \\ 0 & x=0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Soweit klar?

Um jetzt zu überprüfen, ob $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ sogar gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konvergiert, könntest du überlegen, ob $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \sup_{x\in [0,1]} |f_n(x)-f(x)|=0 \end{eqnarray*}$ gilt. (Dabei könnte es hilfreich sein, wenn du dir eine Skizze machst, d.h. $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ für die ersten Werte von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und die Grenzfunktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in ein Koordinatensystem zeichnest. Da kannst du dann das Supremum ablesen und vermuten, was der Grenzwert ist. Das ersetzt natürlich keinen Beweis.)
Oder du schaust in meinen zweiten Beitrag; da steht schon fast die Antwort.

Bei $\begin{eqnarray*} (g_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ist die Vorgehensweise ähnlich. Das kannst du ja jetzt nochmal selbst probieren. Wenn Fragen sind, kann ich natürlich gern weiterhelfen. smile

03.02.2016, 22:46

MrMask

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Super, jetzt hab ich es verstanden Freude

Vielen Dank.

03.02.2016, 22:50

10001000Nick1

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Na dann ist ja alles perfekt. smile

Zum Vergleich:
$\begin{eqnarray*} (g_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ist gleichmäßig konvergent, $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ nur punktweise, aber nicht gleichmäßig.

04.02.2016, 11:55

MrMask

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Hey, ich bins nochmal.

Also fn hab ich jetzt richtig, allerdings verstehe ich nicht warum gn nur pkt konv ist.

Liegt das nur am Definitionsbereich?

04.02.2016, 12:02

HAL 9000

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Bitte keine Verwechslungen: $\begin{align*} (f_n) \end{align*}$ ist es, was nur punktweise aber nicht gleichmäßig konvergent ist.

Berechne doch einfach mal das oben erwähnte $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \sup_{x\in [0,1]} |f_n(x)-f(x)| \end{align*}$ , und zwar schrittweise von innen nach außen: Beginne also mit $\begin{align*} \sup_{x\in [0,1]} |f_n(x)-f(x)| \end{align*}$ - wie groß ist dieser Wert? verwirrt

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