Frage zum Primzahlkörper

03.02.2016, 20:26

madsen1990

Frage zum Primzahlkörper

Hallo,

ich habe mal eine Frage zum Primzahlkörper, die ich mir durch einlesen bisher nicht selbst beantworten konnte.

Ich habe gelernt, dass der Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb Z /_{n} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ genau dann ein Körper ist, wenn n Primzahl ist oder für n gilt:
$\begin{eqnarray*} n=p^{m} ; p =Primzahl, m\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Demnach müsste ja auch $\begin{eqnarray*} \mathbb Z /_{8} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ein Körper sein. Ich habe mir jetzt aber gedacht, dass im Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb Z /_{8} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ gelten würde $\begin{eqnarray*} 2*4 \equiv 0 \end{eqnarray*}$ . Was ja aber ein Widerspruch dazu sein müsste, dass in Körpern gilt $\begin{eqnarray*} a*b= 0\Rightarrow a=0 \vee b=0 \end{eqnarray*}$ .

Kann mir bitte jemand sagen, wo mein Denkfehler ist?

Vielen Dank smile

03.02.2016, 20:57

10001000Nick1

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$\begin{eqnarray*} \mathbb Z/n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist dann und nur dann ein Körper, wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine Primzahl ist; in allen anderen Fällen ist dieser Ring nicht nullteilerfrei, wie du bei $\begin{eqnarray*} n=8 \end{eqnarray*}$ schon erkannt hast.

Richtig ist: Es existiert genau dann ein Körper mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Elementen, wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine Primzahlpotenz ist, d.h. $\begin{eqnarray*} n=p^m \end{eqnarray*}$ mit einer Primzahl $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Nur für $\begin{eqnarray*} m=1 \end{eqnarray*}$ ist dieser Körper isomorph zum Ring (bzw. dann auch Körper) $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

03.02.2016, 20:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von madsen1990
Ich habe gelernt, dass der Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb Z /_{n} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ genau dann ein Körper ist, wenn n Primzahl ist

Punkt! Kein "oder"!

Es gibt endliche Körper mit $\begin{align*} n=p^m \end{align*}$ Elementen auch für $\begin{align*} m>1 \end{align*}$ , aber das ist nicht $\begin{align*} \mathbb Z / n \mathbb Z \end{align*}$ . unglücklich

@10001000Nick1

Deiner. Augenzwinkern

04.02.2016, 21:50

madsen1990

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Vielen Dank für die Antworten. smile

Das hat die Frage auf geklärt, dann kann ich dass aus meinem Kopf streichen Augenzwinkern

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