Drei Wurzeln auflösen |
03.02.2016, 21:57 | Zisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Drei Wurzeln auflösen Mit zwei Wurzeln ist das Ganze keine Problem. Bei drei geht es jedoch los. Am Ende muss ich die allgemeine Lösung finden, für die Summe über eine beliebige Anzahl an Summanden. |
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03.02.2016, 22:03 | leoclid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schiebe zuerst eine Wurzel auf die linke Seite und quadriere dann. Auf der linken Seite hast du dann keine Wurzel mehr. Jetzt hast du noch auf der rechten Seite eine Wurzel. Forme so um, dass auf dieser Seite wirklich nur noch diese Wurzel steht. Dann bist du fast am Ziel! |
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03.02.2016, 22:06 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Wurzeln bekommt man schon weg, aber man bekommt letztlich eine Gleichung vierten Grades für die Variable , nicht gerade sehr angenehm.
Als explizite Formel? Vergiss es, da muss eine numerische Lösung ran. |
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03.02.2016, 22:19 | Zisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich könnte mich wahrscheinlich auf 6 Wurzelsummanden beschränken. Wirklich besser wird es damit aber nicht. Bereits die drei Wurzeln resultieren in so großen Mammuth-Termen, dass ich auf eine analytische Lösung die Lust verliere |
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04.02.2016, 10:10 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Reden wir mal grundsätzlich über die Lösbarkeit von . Ich nehme mal an, es geht von vornherein nur um nichtnegative , nicht wahr? Das ganze kann man als Nullstellensuche der Funktion formulieren. Wenn wir zusätzlich noch sowie betrachten, dann stellen wir erstmal fest, dass nur für als reelle Funktion definiert ist, d.h. es geht eigentlich um eine Funktion . Diese Funktion ist offenbar streng monoton wachsend mit . Sie besitzt dann und nur dann eine Nullstelle , wenn gilt, und diese Nullstelle ist dann eindeutig. Eine grobe Abschätzung ergibt . Für bedeutet das demnach , damit hat man das Suchintervall ja schon mal eingegrenzt. |
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04.02.2016, 23:57 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das kann ich nicht glauben! Q ist nicht Null. mY+ |
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05.02.2016, 09:13 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, da hat sich leoclid geirrt: Nach dieser ersten Quadrierung hat man noch je eine Wurzel links und rechts, mit den -Polynomgraden 2 und 4 unter der Wurzel und 2 außerhalb. Umsortieren der beiden Wurzeln auf eine Seite und den Rest auf die andere Seite und anschließendes Quadrieren ergibt Polynomgrad 6 unter der dann einzigen Wurzel und 4 außerhalb. Umsortieren, erneut quadrieren beseitigt dann auch die letzte Wurzel und ergibt eine Gleichung achten Grades für , in der allerdings nur geradzahlige Potenzen auftauchen, d.h., es ist eine Gleichung vierten Grades für . |
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