Basis R^2

Neue Frage »

04.02.2016, 10:49	Adramelec	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis R^2 Hallo, ich habe folgende Aufgabe: a) Zeigen Sie, dass a = (1,1), b = (-2,1) eine Basis des R^2 bilden. b) Geben Sie die Koordinaten des Vektors c = (-6,9) bezüglich dieser Basis an und machen Sie die Probe. a) $\begin{eqnarray} <br /> I : k_{1} - 2k_{2} = 0 <br /> II : k_{1} + k_{2} = 0<br /> \end{eqnarray}$ Dann hol ich mir mal ein k1 über die zweite Gleichung. $\begin{eqnarray} k_{1} = -k_{2} \end{eqnarray}$ Und setze jetzt in die erste Gleichung ein: $\begin{eqnarray} <br /> -k_{2}-2k_{2} = 0<br /> -3k_{2} = 0<br /> \end{eqnarray}$ Damit ist die Basis bzw. die lineare Unabhängigkeit bewiesen. Nun b) (und das ist mein Problem) Durch den neuen Vektor c habe ich folgendes: $\begin{eqnarray} <br /> I : k_{1} - 2k_{2} = -6<br /> II : k_{1} + k_{2} = 9<br /> \end{eqnarray}$ I: $\begin{eqnarray} <br /> k_{1}-2k_{2} = -6 /-k_{1}<br /> -2k_{2} = -6k_{1} / (-1) & :2<br /> k_{2} = 3k_{1}<br /> \end{eqnarray}$ II: $\begin{eqnarray} <br /> k_{1}+3k_{1} = 9<br /> 4k_{1} = 9 /:4<br /> k_{1} = \frac{9}{4}<br /> \end{eqnarray}$ Nun setze ich wieder in I: ein: $\begin{eqnarray} <br /> k_{2} = 3k_{1}<br /> k_{2} = \frac{27}{4}<br /> \end{eqnarray}$ Das Problem ist, dass nun die Gleichung hier nicht aufgeht: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{9}{4}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{27}{4}\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 9 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$ Lt. Lösungen sollte k1=4 und k2=5 sein. Was mache ich falsch?
04.02.2016, 10:51	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
a) ist in Ordnung, wenn man weiss, dass zwei linear unabhaengige Vektoren bereits $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ erzeugen. b) Du rechnest $\begin{eqnarray} - 6 - k_1 = -6k_1 \end{eqnarray}$
04.02.2016, 11:10	Adramelec	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, ja, das kann ich natürlich nicht weiter vereinfachen. Dann kommt bei I: $\begin{eqnarray} k_{2} = 3+k_{1} \end{eqnarray}$ raus. Nach dem einsetzen kommt $\begin{eqnarray} \frac{21}{4} \end{eqnarray}$ raus. Damit geht die Gleichung aber noch immer nicht auf
04.02.2016, 11:12	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig wäre I: $\begin{eqnarray} k_{2} = 3+\frac {k_{1}}2 \end{eqnarray}$ . Konzentrier dich bitte ein wenig.
04.02.2016, 11:16	Adramelec	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast Recht, danke. Die erste Zeile der Probe stimmt nun. Also: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{9}{4}1 + \frac{33}{8}(-2) = -6<br /> \end{eqnarray}$ Aber die zweite stimmt nicht mehr: $\begin{eqnarray} \frac{9}{4}1 + \frac{33}{8} = 9 \end{eqnarray*}$
04.02.2016, 11:18	Adramelec	Auf diesen Beitrag antworten »
Moment, muss natürlich zweite Gleichung anpassen..
Anzeige

04.02.2016, 11:20	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast bei a) gezeigt, dass die beiden Vektoren eine Basis bilden. Insbesondere lässt sich jeder Vektor eindeutig (!) als Linearkombination der beiden darstellen. D.h. die einzige Lösung ist die Musterlösung, und wenn du nicht auf die Faktoren kommst, wird die Probe unweigerlich schief laufen. Schreib mal deine Rechnung auf, weil da noch irgendwo ein Problem ist.
04.02.2016, 11:33	Adramelec	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, also: $\begin{eqnarray} k_{2} = 3+\frac{k_{1}}{2} \end{eqnarray}$ Ich setze daher das $\begin{eqnarray} k_{2} \end{eqnarray}$ in II ein: $\begin{eqnarray} k_{1}+3\frac{k_1{1}}{2} = 9 /2<br /> 2k_{1}+3k_{1} = 18<br /> 5k_{1} = 18 / :5<br /> k_{1} = \frac{18}{5} \end{eqnarray}$ Nun setze ich den Wert wieder bei I ein, damit ich den Wert für $\begin{eqnarray} k_{2} \end{eqnarray}$ bekomme. $\begin{eqnarray} k_{2} = 3+\frac{18}{5}:2<br /> k_{2} = \frac{24}{5}<br /> \end{eqnarray*}$ Irgendwo hab ich noch einen Fehler drinnen
04.02.2016, 11:35	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt $\begin{eqnarray} 3 + \frac {k_1} 2 = 3 \cdot \frac {k_1} 2 \end{eqnarray}$ genauso wenig wie vorher $\begin{eqnarray} -6 - k_1 = -6\cdot k_1 \end{eqnarray}$ war. Bis auf einen Faktor -2 ist es sogar 1:1 der gleiche Fehler.
04.02.2016, 11:40	Adramelec	Auf diesen Beitrag antworten »
argh. Blöder abschreib-fehler und dann nicht mehr aufgefallen. Danke, habs jetzt
04.02.2016, 11:43	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit dem Additionsverfahren (z.B. das zweifache der zweiten Zeile auf die erste addieren, oder beide einfach subtrahieren) wäre es vermutlich weniger fehleranfällig gewesen. Aber schön, dass du es nun raus hast.

Neue Frage »

Antworten »

Basis R^2

Verwandte Themen