Reihe auf Konvergenz pruefen |
| 04.02.2016, 14:03 | amateurphysiker_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Reihe auf Konvergenz pruefen es geht um diese Aufgabe. Bzgl. Absolute Konvergenz: Ich hab das Wurzelkriterium angewendet und damit festgestellt, dass die Reihe absolut konvergiert fuer 0<x<Pi (siehe hier). Bzgl. Divergenz: Ist es richtig mit dem Wurzelkriterium zu argumentieren, dass die Reihe nie divergiert, da im gesamten Definitionsbereich gilt: ? Bzgl. Konvergenz: Wie kann ich auf die Moeglichkeit der Konvergenz (ohne absolute Konvergenz) pruefen? Mit dem WK geht das ja nicht, oder? Damit kann ich nur auf absolute pruefen. Von den bei uns behandelten Kriterien pruefen eigentlich alle bis auf das Leibnitz-Kriterium auf absolute Konvergenz, aber das LK passt hier ja nicht. |
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| 04.02.2016, 14:28 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Reihe auf Konvergenz pruefen Wichtig: Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent. An den Rändern schau nochmal genauer hin. Was ist cos(0) und was cos(pi)? Untersuche getrennt. |
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| 04.02.2016, 14:30 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Richtig. Da in dem Satz kein "genau dann" zu finden ist (oder hast du es vergessen?) musst du aber auch noch sagen, wie es in den Randfällen und mit der absoluten Konvergenz aussieht...
Da die Reihe für divergiert, ist das falsch.
Irrtum: Für passt es. |
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| 04.02.2016, 14:54 | amateurphysiker_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke für eure Hinweise! Also für und ergibt der lim sup=1, weshalb in diesen F'llen mit dem WK keine Aussage gemacht werden kann, richtig? @Mulder: Ich verstehe, dass Absolute Konvergenz einschließt, aber theoretisch könnte es ja auch einen Bereich geben wo nur Konvergenz ohne absoluter Konvergenz vorliegt oder nicht? Müsste ich das nicht auch prüfen, zumal es explizit in der Aufgabe gefragt ist? @HAL 9000 Ok, dann kann ich für noch mit dem LK sagen, dass die Folge konvergiert. Anhand welches Kriterium kann ich bei der Aufgabe generell auf Divergenz überprüfen? |
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| 04.02.2016, 15:02 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Richtig - aber das heißt nicht, dass du dich mit dieser Aussage zurücklehnen kannst: Du musst andere Mittel und Wege finden, um auch für und zu einer Entscheidung "Absolute Konvergenz ja/nein" zu gelangen. Da sich der Rest der Diskussion aber um genau diese Frage nun dreht (normale Konvergenz eingeschlossen), muss das jetzt nicht näher beleuchtet werden. 
Auch "praktisch": Für ist genau das der Fall. Die Divergenz für (und desgleichen die nicht vorliegende absolute Konvergenz für ) ergibt sich aus der Divergenz der dort stehenden harmonischen Reihe. Wie man diese Divergenz nachweist, weißt du hoffentlich schon, oder? |
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| 05.02.2016, 14:01 | amateurphysiker_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok jetzt hab ichs kapiert, danke! Muss man die Divergenz bei der harmonischen Reihe nachweisen? Ich dachte, dass waere eine der Standardreihen, bei denen man das "als gegeben" annehmen darf. Das Nullfolgenkriterium greift hier jedenfalls nicht, das Quotientenkriterium auch nicht, das WK nicht, das LK nicht und mit Minorante haette ich hier auch keine Idee. Das sind alle mir bekannten Kriterien... |
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| 05.02.2016, 15:39 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sagen wir's mal so: Ich würde das auch als Standardwissen ansehen - wenn aber einer hartnäckig nachfragt "wieso ist die divergent", sollte man es schon nachweisen können (oder zumindest wissen, wo man den Nachweis findet
). |
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| 05.02.2016, 16:38 | amateurphysiker_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok danke. Aber mit den von mir erwähnten Kriterien kommt man hier nicht weiter oder? |
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| 05.02.2016, 16:59 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein, die klappen alle nicht. Das Verdichtungskriterium funktioniert aber, damit wird die Divergenz der Harmonischen Reihe in der Schule meist bewiesen (wenn auch vielleicht nicht unter Nennung dieses Namens, aber vom Prinzip her schon).
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| 05.02.2016, 17:42 | amateurphysiker_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok danke, ich schau es mir an! |
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