Taylorpolynom Fehlerabschätzung an einer Stelle

04.02.2016, 16:07

F43nd1r

Taylorpolynom Fehlerabschätzung an einer Stelle

Meine Frage:
"Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} tan( \frac{1}{10} ) \end{eqnarray*}$ näherungsweise mit Hilfe des Taylorpolynoms
$\begin{eqnarray*} T_{3,0}tan \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie auch, dass der Fehler kleiner ist als $\begin{eqnarray*} \frac{10}{3} * 10^{-4} \end{eqnarray*}$ ."

Ich habe die ersten 4 Ableitungen von tangens bestimmt und damit das Polynom aufgestellt. Mein Problem ist nun, dass ich nicht weiß, wie ich die Fehlerabschätzung mache. Das Skript dazu besteht hauptsächlich aus einem Beispiel, das mir nicht besonders weiterhilft. Alles was ich daruas erkennen konnte, war, dass ich wohl die vierte Ableitung brauche. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Meine Ideen:
Mein einziger Ansatz war das ganze nun in die Formel einzusetzen:
$\begin{eqnarray*} \frac{tan''''(\frac{1}{10} )}{4!}*(\frac{1}{10})^{4} \end{eqnarray*}$ , aber wie kann ich das berechnen?

$\begin{eqnarray*} (tan'''' = \frac{8sin*(sin^{2}+2)}{cos^{5}}) \end{eqnarray*}$

04.02.2016, 17:26

HAL 9000

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Ok, was haben wir: $\begin{align*} T_3(x) = x + \frac{x^3}{3} \end{align*}$ und z.B. das Lagrange-Restglied $\begin{align*} R_3(x) = \frac{\tan''''(\xi)}{24} x^4 = \frac{\sin(\xi)(\sin^2(\xi)+2)}{3\cos^5(\xi)}\cdot x^4 \end{align*}$

Tja, nun ist der Term $\begin{align*} \frac{\sin(\xi)(\sin^2(\xi)+2)}{3\cos^5(\xi)} \end{align*}$ für $\begin{align*} 0<\xi<\frac{1}{10} \end{align*}$ geeignet nach oben abzuschätzen. Im Zähler würde sich dazu $\begin{align*} \sin(\xi)\leq \xi < 0.1 \end{align*}$ anbieten, im Nenner $\begin{align*} \cos(\xi)\geq 1 - \frac{\xi^2}{2} > 0.995 \end{align*}$ .

Wenn ich mir den geforderten Wert so ansehe, kann man allerdings auch deutlich grober vorgehen...

04.02.2016, 17:36

Dopap

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ich nehme an, $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ war dein Entwicklungspunkt.

Nun, das Restglied hat dann die Darstellung:

$\begin{eqnarray*} R_3(x,0) := \frac {\tan ^{(4)}(\xi)}{(4)!} \cdot (x)^{4} \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ zwischen 0.1 und 0

Reduziert auf die Aufgabe ist nun

$\begin{eqnarray*} \bigg | \frac {\tan^{(4)}(\xi)}{(24)} \cdot (0.1 )^{4} \bigg | \end{eqnarray*}$ nach oben abzuschätzen

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Edit: siehe oben Augenzwinkern

04.02.2016, 17:41

HAL 9000

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Man kann ja die vierte Ableitung auch schreiben $\begin{align*} \tan^{(4)}(\xi) = 16\tan(\xi) + 40\tan^3(\xi)+ 24\tan^5(\xi) \end{align*}$ .

Allem Anschein nach genügt zur Erreichung des geforderten Schrankenziels die Holzhammer-Abschätzung $\begin{align*} \tan(\xi)<1 \end{align*}$ . geschockt

04.02.2016, 19:01

F43nd1r

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Vielen Dank euch beiden. Ich habe die Abschätzung letztendlich mit meiner Ursprünglichen Ableitung und $\begin{eqnarray*} |sin|,|cos| \leq 1 \end{eqnarray*}$ gemacht, was immer noch ausreichend ist um einen kleineren Fehler nachzuweisen.

Edit: Die Abschätzung für cos muss man doch etwas genauer machen.

04.02.2016, 22:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von F43nd1r
Ich habe die Abschätzung letztendlich mit meiner Ursprünglichen Ableitung und $\begin{eqnarray*} |sin|,|cos| \leq 1 \end{eqnarray*}$

Im Nenner $\begin{align*} \cos^5(x) \end{align*}$ nützt eine $\begin{align*} \leq \end{align*}$ -Abschätzung herzlich wenig. unglücklich

04.02.2016, 22:50

F43nd1r

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Zitat:

Original von HAL 9000
Im Nenner $\begin{align*} \cos^5(x) \end{align*}$ nützt eine $\begin{align*} \leq \end{align*}$ -Abschätzung herzlich wenig. unglücklich

Deswegen mein edit, ich habe die Abschätzung für cos doch auf >0.9 im Intervall gemacht.

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