relative Abweichung vom Erwartungswert angeben

04.02.2016, 19:15	Enomine	Auf diesen Beitrag antworten »
relative Abweichung vom Erwartungswert angeben Hi, [attach]40765[/attach] ich habe mir von einem Java-Programm 100 bis 1.000.000.000 Zufallszahlen zwischen 1 und 10 ausgeben lassen und die Ergebnisse in Excel eingefügt und die Abweichung vom erwarteten Wert berechnen lassen. In Zeile 14 steht jeweils die höchste Abweichung. Wie kann ich diesen Wert berechnen? Beispiel: https://caniwin.com/texasholdem/oddscalculator/ Wenn wir dort also Hole Cards Herz Ass und Kreuz Ass angeben und 8 Spieler angeben und als Community Cards Karo Ass, Karo König und Karo Dame angeben und es berechnen lassen, dann erhalten wir eine Anzeige in etwa: win 48.8 % ±0.19% tie 1.35% Wenn wir mehrmals auf berechnen klicken werden noch mehr Ereignisse berechnet und bei 3.500.000 Berechnungen bekommen wir eine Anzeige wie in etwa win 48.96% ±0.0497% tie 1.37% Wie wir sehen sinkt die Abweichung. Wie berechnet sich der Wert und wie heißt er? Danke - Enomine
04.02.2016, 20:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die gewürfelte Anzahl $\begin{align} X_i \end{align}$ für Zahl ist bei $\begin{align} N \end{align}$ Würfen binomialverteilt $\begin{align} B\left(N,\frac{1}{10}\right) \end{align}$ , was für große $\begin{align} N \end{align}$ annähernd normalverteilt $\begin{align} \mathcal{N}\left(\frac{N}{10},\frac{9N}{100}\right) \end{align}$ ist. Wenn wir vereinfachend annehmen, dass die Anzahlen $\begin{align} X_i \end{align}$ voneinander unabhängig sind (was gewiss nicht stimmt), dann gilt $\begin{align} P\left( \max\limits_{i=1,\ldots,10} \left\| X_i - \frac{N}{10}\right\| \leq x \right) \approx \prod_{i=1}^{10} P\left( \frac{N}{10}-x \leq X_i \leq \frac{N}{10}+x \right) \approx \left( 2\Phi\left( \frac{10x}{3\sqrt{N}} \right)-1 \right)^{10} \end{align}$ Wenn es statt absoluter Abweichung $\begin{align} x \end{align}$ um eine relative Abweichung $\begin{align} r=\frac{x}{N} \end{align}$ geht, wie in deiner Tabelle, dann lautet die Gleichung entsprechend $\begin{align} P\left( \max\limits_{i=1,\ldots,10} \left\| X_i - \frac{N}{10}\right\| \leq rN \right) \approx \left( 2\Phi\left( \frac{10}{3}\sqrt{N}r \right)-1 \right)^{10} \end{align}$ Wenn wir uns z.B. für den Median $\begin{align} r_m \end{align}$ dieser relativen Abweichung interessieren, dann wäre die Rechnung $\begin{align} 2\Phi\left( \frac{10}{3}\sqrt{N}r_m \right)-1 = \frac{1}{\sqrt[10]{2}} \end{align}$ $\begin{align} \Phi\left( \frac{10}{3}\sqrt{N}r_m \right) = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{\sqrt[10]{2}}+1 \right) \approx 0.966516 \end{align}$ $\begin{align} r_m = \frac{3}{10\sqrt{N}} z_{0.966516} \approx \frac{0.54957}{\sqrt{N}} \end{align}$ Bei $\begin{align} N=1\,000\,000\,000 \end{align}$ wie in deiner letzten Spalte wäre dieser Median $\begin{align} r_m \approx 0.000174\% \end{align}$ Dieser Relativwert ist wohlgemerkt auf $\begin{align} N=1\,000\,000\,000 \end{align}$ bezogen - du hast es in der Tabelle auf $\begin{align} \frac{N}{10}=100\,000\,000 \end{align}$ bezogen, dadurch verrutscht alles um eine Stelle.

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