Integral - Verständnisfrage |
| 06.02.2016, 11:59 | LemanRuss | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Integral - Verständnisfrage bis vor Kurzem dachte ich beim Integral immer daran, dass ein Integral einfach die Funktionswerte aufaddiert. Manche Quellen sagen das auch so. Ich habe gestern ein einfaches Integral mit konkreten Zahlen berechnet und das Integral ist viel zu klein. Das verwundert mich doch, weil diese Anschauung des Integrals bisher immer Sinn gemacht hat. Denn so macht zB das Integrieren einer Dichtefunktion Sinn, wenn man die Verteilungsfunktion haben will. Der Klassiker zur Erklärung des Integrals zielt auch darauf ab. Wenn man wissen will, wieviel Wasser durch einen Abfluss geflossen ist und man eine Funktion f(t) gegeben hat, die einem sagt wieviel Wasser zu einem Zeitpunkt t durchgeflossen ist, dann macht das Integral doch nichts anderes als die f(t) im entsprechenden Intervall aufzuaddieren 
Wenn ich mir Erklärungen zum Riemann Integral anschaue, dann macht das auch Sinn. Ober- und Untersumme sind nur Abschätzungen und wenn man das zu betrachtende Intervall zum Beispiel nur drittelt kann man auch extreme Fehler da drin haben. Deswegen teilt man das Intervall in "unendlich" viele Teilintervalle und deren Rechtecke nähern sich immer mehr den Funktionswerten an. Oder anders ausgedrückt die Flächen der Rechtecke gehen gegen Null und aus dem rechteck wird dann nur noch ein Strich, welcher ja die Höhe des Rechteckes war bzw einfach der Funktionswert. Das alles zusammen addiert ist doch dann nichts anderes als eine Addition der Funktionswerte. Oder ist das Riemann Integral nur eine Abschätzung? Ich hatte es immer so verstanden, dass es in der Lage wäre den Wert exakt zu berechnen? |
||
| 06.02.2016, 13:49 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » |
(Auf)-addierung von Funktionswerten ? Wer schreibt denn so etwas ? Dann hättest du als Ergebnis so gut wie immer unendlich. Im Integral steht aber ein Produkt dessen Einzel-Werte nach Null streben. Und was ist mit der Dimension? Wenn der Wegstreckenzähler nicht vorhanden ist, dann kannst dir vom Tacho die Geschwindigkeits-Zeit Funktion notieren. Die Funktion hat dann die Maßeinheit m/s. Beim Integrieren hat jedes Produkt die Einheit , also immer kleinere Teilstrecken. Und so soll es auch sein. Das ist jetzt nur mal "so dahin" gesagt, letztlich musst du dich mit dem Begriff des Grenzwertes auseinandersetzten. |
||
| 06.02.2016, 13:55 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Einfach gesagt, gibt es beim Integral einer Funktion f(x) zwei Anschauungsweisen: 1. Wir suchen eine "Stammfunktion" F(x) zu f(x), die die Eigenschaft hat, dass deren Ableitung F'(x) wiederum die gegebene Funktion f(x) ist. So ein Integral nennt man unbestimmtes Integral, weil alle Funktionen F(x) + C dieselbe Ableitung f(x) haben. Der Name "Integral" kommt aus dem Lateinischen und "integrieren" heisst wörtlich: "Wiederherstellen" (der Stammfunktion), "integer" = "unberührt". 2. Im Riemann'schen Sinne ist das Integral ein bestimmtes, wobei einer Funktion f(x) die Fläche zugeordnet wird, die diese Funktion in einem gegebenen Intervall mit der x-Achse (innerhalb der Grenzen der Endpunkte des Intervalls) einschließt. Dabei teilt man diese Fläche in unendlich dünne Streifen und berechnet dann die Summe deren Flächen. Die Grenzen müssen nicht fest, eine kann auch variabel sein. Wie beim Differentialquotienten ist daher auch dieses Integral ein Grenzwert, bei dem die Anzahl der Streifen gegen unendlich geht. Es muss natürlich nicht nur um Flächen gehen, denn allgemein kann es bei jeder Funktion, die ein (momentanes) Änderungsverhalten beschreibt, die Aufgabe sein, daraus eine Summe des Bestandes für ein bestimmtes Intervall zu ermitteln. Das Resultat ist jedenfalls durchaus ein exaktes und kein angenähertes. Diese Erklärung ist jetzt nur kurz, eine weitere würde über den Rahmen dieses Forums hinausgehen. Es gibt aber über dieses Thema dermaßen viele Informationen, sodass du dich weitgehend darin vertiefen kannst und auch solltest, wenn damit dein Interesse geweckt ist. mY+ |
||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
