Verlosung von Büchern

06.02.2016, 14:34	Kombinatoriker	Auf diesen Beitrag antworten »
Verlosung von Büchern Meine Frage: Hallo, folgendes Problem: Es werden $\begin{eqnarray} k\geq n \end{eqnarray}$ Bücher an $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Personen verlost. Uns interessiert die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer nichts bekommt. Meine Ideen: Also ich habe $\begin{eqnarray} \Omega=\left\{1,\dots ,n\right\}^k \end{eqnarray}$ gewählt und $\begin{eqnarray} A_l=\left\{\omega\in\Omega ~\|~\forall 1\leq j\leq k: \omega_j\neq l\right\} \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \mathbb{P}(\text{"mind. eine Persone bekommt nichts"})=\mathbb{P}\left(\bigcup_{1\leq l\leq n} B_l\right) \end{eqnarray}$ . Für die Siebformel muss ich nur noch $\begin{eqnarray} \mathbb{P}\left(\bigcap_{j\in J} B_j\right) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ -elementige Teilmengen $\begin{eqnarray} J \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \left\{1,\dots ,n\right\} \end{eqnarray}$ bestimmen. Davon gibt es $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n\\ m \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ -viele und ich habe jeweils $\begin{eqnarray} m^k \end{eqnarray}$ Möglichkeiten die Bücher zu verteilen. Ist das richtig? D.h. gilt $\begin{eqnarray} \sum_{\|J\|=m} \mathbb{P}\left(\bigcap_{j\in J} B_j\right) = \begin{pmatrix} n\\ m \end{pmatrix} \cdot (\frac{m}{n})^k \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} J \end{eqnarray}$ über alle $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ -elementigen Teilmengen läuft?
06.02.2016, 15:31	Kombinatoriker	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, es muss zumindest schonmal $\begin{eqnarray} \sum_{\|J\|=m} \mathbb{P}\left(\bigcap_{j\in J} B_j\right) = \begin{pmatrix} n\\ m \end{pmatrix} \cdot (\frac{n-m}{n})^k \end{eqnarray}$ heißen... Stimmt es dann?

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