Goniometrische Gleichung lösen

06.02.2016, 15:40

blurry

Goniometrische Gleichung lösen

Hallo,

weiß einer wie man diese Gleichung lösen könnte.

sin(90x-20) = 0.4 - 1.8x

Das Problem ist das im Argument des Sinus auch ein x vorkommt. Wie macht man das am besten ?

06.02.2016, 15:43

gast0602

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RE: Komplizierte Gleichung mit sinus lösen
numerische lösen mit Näherungsverfahren (z.B. Newton). Wink

06.02.2016, 16:30

Dopap

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RE: Komplizierte Gleichung mit sinus lösen

Zitat:

Original von blurry

sin(90x-20) = 0.4 - 1.8x

Mir fällt auf, dass die Argumente linear abhängig sind, z.b.

$\begin{eqnarray*} u:= 90x-20 \rightarrow 0.4 -1.8x= -\frac {u}{50} \end{eqnarray*}$ damit bliebe noch

$\begin{eqnarray*} 50 \sin(u)+u=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sin(u) \approx u -\frac {u^3}{3} \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} u(51 -\frac {50}{3}u^2 )=0 ... \end{eqnarray*}$ wäre aber auch nur eine Näherung. verwirrt

06.02.2016, 21:27

blurry

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Cool danke für die Antworten.

Also ich bring jetzt mit deiner Rechnung 0.2497.. raus. Aber eigentlich sollte wohl so 0.206 rauskommen. Aber der Rechenweg zählt in diesem Fall mehr als die Lösung smile

07.02.2016, 00:30

mYthos

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Die Gleichung hat genau 33 reelle Lösungen, eine davon ist x= 2/9 bzw. x = 0.2222...
Daneben gibt es auch x = 0.258
Allerdings sind 0.2497 und auch 0.206 falsch.

Es ist sehr wichtig, bei der numerischen Lösung einen geeigneten Startwert zu wählen und das Lösungsintervall einzugrenzen!

Eine (triviale) Lösung von $\begin{eqnarray*} 50 \sin u = -u \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} u = 0 \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich $\begin{eqnarray*} 1.8x - 0.4 = 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x = \frac 2 9 \end{eqnarray*}$

[attach]40785[/attach]

mY+

07.02.2016, 01:24

Dopap

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die Lösung u=0 hatte ich durch Ausklammern schon pädagogisch vorbereitet. Leider dann wieder "vergessen" nachdem nicht darauf eingegangen wurde. Nur gut dass mYthos noch eine Nachtrunde eingelegt hat. Augenzwinkern

07.02.2016, 10:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von blurry
Aber eigentlich sollte wohl so 0.206 rauskommen.

Da stellt sich mir noch folgende Frage: Meinst du wirklich $\begin{align*} \sin(90x-20) = 0.4-1.8x \end{align*}$ ? Diese Gleichung hat keine Lösung 0.206, siehe Graph von mYthos.

Die Gleichung $\begin{align*} \sin(90^{\circ}\cdot x-20^{\circ}) = 0.4-1.8x \end{align*}$ allerdings auch nicht. verwirrt

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