Kaninchenvermehrung und Änderungsrate als Gegenkraft

06.02.2016, 16:48	BenA	Auf diesen Beitrag antworten »
Kaninchenvermehrung und Änderungsrate als Gegenkraft Hallo Mathefreunde, ich habe eine Frage zu dem die Änderungsrate betreffenden Teil der verwendeten Formel und hoffe das ich das Thema in die richtige Rubrik einordnete. zugehörige Quelle ist: spannender Mathe-Vortrag von Rudolf Taschner "Mathematik und die Natur" Video-Minute (ab min 02:30 bis) 06:56; VideoLink: Youtube(dot)com/watch?v=vE2RUwwUDR4 (den Link darf ich als neues Mitglied noch nicht posten aber Du kannst einfach den von mir abgebildeten Rest der normalen Youtube- Domain hinzufügen) Kurzbeschreibung des Themas: Im Video geht es um die Berechnung der "Vermehrung von Kaninchenpaaren" (bezeichnet als x), die sich zunächst nach der Fibonacci-Folge vermehren. Doch als das Futter knapp wird, entsteht eine Gegenkraft (Änderungsrate), die die bisherige Vermehrungsrate negativ verändert. Meine Frage: Bei der zugehörigen Formel kann ich das ..."- $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ " nicht nachvollziehen. Ist das "- $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ " nicht viel zu groß gewählt in der Formel? Dann müsste beispielsweise (für x = 1000) die Änderungsrate = 1000 - 1000 x 1000 = - 999.000 ergeben. Und ich habe Zweifel ob zu dem Zeitpunkt überhaupt schon so viele Kaninchen geboren wurden. Symbole: x = Vermehrung der Hasen $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ = Nahrungsbremse Abgebildete Formel: Änderungsrate = x - $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ Da würden doch plötzlich viel zu viele Kaninchen gleichzeitig sterben oder? Ist die Formel für die Änderungsrate evtl. falsch gewählt und wenn ja wie müsste die richtige heissen?
06.02.2016, 21:07	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst beim Video genau hinsehen bzw. zuhören, vielleicht sogar öfter, um es richtig zu verstehen! Die "Nahrungsbremse", die zu einer Verminderung des Bestandes führt, ist mit dem Faktor $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ proportional zum Quadrat der momentanen Bestandszahl. Demgemäß lautet die Beziehung exakt: $\begin{eqnarray} \dot{x} = x - \lambda \cdot x^2 = 0 \end{eqnarray}$ , dabei ist jedoch (o.B.d.A.) $\begin{eqnarray} \lambda = 1 \end{eqnarray}$ gesetzt worden. Ein Gleichgewicht ist erreicht, wenn der Bestand gleich bleibt, also die Änderungsrate $\begin{eqnarray} \dot{x} \end{eqnarray}$ zu Null wird: $\begin{eqnarray} \dot{x} = x - x^2 = 0 \end{eqnarray}$ Eine (sinnvolle) Lösung dieser quadratischen Gleichung ist x = 1 Wobei Prof. Taschner darauf hingewiesen hat, dass die Einheit (1) nicht 1 Kaninchen ist, sondern durchaus z.B. 1000 Stück bezeichnen kann. Die quadratische Gleichung ist daher in dieser Einheit: 1 Einheit = 1000 Stück, dies entspricht x = 1 erstellt. Beträgt die Population also 1000 Stück, so finden diese nur gerade so viel Nahrung, dass dieser Bestand mit geringen Schwankungen gerade erhalten bleibt. mY+
08.02.2016, 19:24	BenA	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. Die Tipps: $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ = 1 und die exakte Beziehung $\begin{eqnarray} \dot{x} = x - \lambda \cdot x^2 \end{eqnarray}$ hat mir sehr geholfen.
08.02.2016, 19:43	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »

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