Äquivalenz von Injektivität und Surjektivität

Neue Frage »

06.02.2016, 18:30	maik theissen	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenz von Injektivität und Surjektivität Hey, ich hab mal eine etwas blöde Frage. Mein Problem ist folgendes: Unser Übungsleiter hat uns mal irgendwie sowas etwas erzählt, dass wenn man Bijektivität in endlichen Mengen (?) beweisen muss, es reicht Injektivität ODER Surjektivität zu beweisen. Weil Injektivität und Surjektivität (und damit auch Bijektivität) äquivalent sind. Das gilt ja nicht für beliebige endliche Mengen. Habt ihr eine Idee was er gemeint haben könnte? Also in welchem Fall das gilt, was für Mengen gemeint sein könnten? Ich weiß, ich gebe wenig Informationen zu dem was ich meine, leider kann ich mich aber nicht an mehr erinnern. Ich finde dazu auch nichts in meinen Aufzeichnungen und habe das Gefühl, dass dieses Wissen nützlich sein könnte :/ Ich hoffe ihr wisst vielleicht, was er gemeint hat...
06.02.2016, 19:22	MeMeansMe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenz von Injektivität und Surjektivität Hey, was stimmt, ist, dass eine surjektive (oder eben injektive) Abbildung über einem endlichdimensionalen Vektorraum gleichzeitig auch injektiv (oder surjektiv) ist, d.h. bijektiv. Hast du schon mal was vom Dimensionssatz gehört? Über den kannst du nämlich argumentieren.
06.02.2016, 19:35	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlich meint dein Übungsleiter Folgendes: Eine Abbildung einer endlichen Menge in sich selbst (oder auch in eine andere gleichmächtige Menge) ist genau dann injektiv, wenn sie surjektiv ist.
06.02.2016, 19:39	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenz von Injektivität und Surjektivität Du hast zwei Mengen A, B und eine Abbildung $\begin{eqnarray} f:A\to B \end{eqnarray}$ . Sind A,B endliche Mengen mit gleichvielen Elementen, dann gilt: f ist genau dann injektiv wenn f surjektiv ist. Edit: Zu spät
06.02.2016, 19:53	maik theissen	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke euch allen für die Antworten! @MeMeansMe: ich glaube das war was ich meinte, weil wir zur Zeit auch Vektorräume haben. Aber was meinst du mit einer Abbildung über EINEM V-Raum? Bildet eine Abbildung nicht von einem V-Raum in einen anderen ab? Oder gilt diese Aussage nur wenn, der V-Raum der Definitionsmenge gleich dem V-Raum der Zielmenge ist?
06.02.2016, 21:32	MeMeansMe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, natürlich hast du immer zwei Vektorräume $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ , wobei natürlich auch $\begin{eqnarray} V=W \end{eqnarray}$ gelten kann. Grundsätzlich gilt der Dimensionssatz für alle linearen Abbildungen $\begin{eqnarray} T:V\to W \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \dim V,\ \dim W < \infty \end{eqnarray}$ . Ist dir klar, warum aus dem Dimensionssatz die Antwort auf deine Frage folgt?
Anzeige

07.02.2016, 01:59	maik theissen	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider nicht. Hilfst du mir auf die Sprünge?
07.02.2016, 09:50	MeMeansMe	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar Du weißt sicherlich, dass eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} T:V\to W \end{eqnarray}$ genau dann injektiv ist, wenn $\begin{eqnarray} \dim\ker(T) = 0 \end{eqnarray}$ und genau dann surjektiv, wenn $\begin{eqnarray} \dim\operatorname{Im}(T) = n \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} n=\dim(V) \end{eqnarray}$ . Aus dem Dimensionssatz $\begin{eqnarray} \dim(V) = \dim\ker(T)+\dim\operatorname{Im}(T) \end{eqnarray}$ folgt dann für eine injektive Abbildung $\begin{eqnarray} \dim(V) = \underbrace{\dim\ker(T)}_{=0} + \dim\operatorname{Im}(T) = \dim\operatorname{Im}(T) \end{eqnarray}$ . Das war aber genau die Bedingung für Surjektivität. Aus der Injektivität folgt also auch Surjektivität. Umgekehrt (aus Surjektivität folgt Injektivität) geht das natürlich genau so. Ist es klarer geworden?
07.02.2016, 17:38	maik theissen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah danke! Diese erste Aussage war mir nicht bekannt! So ergibt das alles natürlich Sinn
07.02.2016, 20:29	maik theissen	Auf diesen Beitrag antworten »
Und sehe ich es also richtig, dass es bei Abbildungen zwischen Vektorräumen deswegen auch keine "reinen" Mono- oder Epimorphismen gibt. Die wären dann ja genauso Äquivalent und damit auch ein Isomorphismus oder?

Neue Frage »

Antworten »

Äquivalenz von Injektivität und Surjektivität

Verwandte Themen