Komplexe Zahlen III - Seite 2

09.02.2016, 14:56

Fenja

was muss ich jetzt machen ?

09.02.2016, 14:58

Mathema

Jetzt schreibst du deine komplexe Zahl in Polarform auf und brauchst den Radius und Winkel nur noch ablesen. Du bist also fertig.

09.02.2016, 16:32

Fenja

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Okay folgendes habe ich gemacht :

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{2} \pi +\frac{1}{4} \pi = \ frac{11}{4} \pi *i \end{eqnarray*}$

= 11/4 pi

dann :

$\begin{eqnarray*} r = cos (\frac{11}{4}\pi ) + i * sin( \frac{ 11}{4} \pi ) \end{eqnarray*}$

dann :

$\begin{eqnarray*} - \frac{1} {\sqrt{2} } + \frac{1} {\sqrt{2} } i \end{eqnarray*}$

09.02.2016, 16:53

Mathema

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Dein Winkel stimmt nun. Wieso du dann wieder in die kartesische Form umwandelst (du vergisst übrigens den Radius), erschließt sich mir nicht. Um es mal abzukürzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{\frac{5}{2}\pi i } }{1-i}=\frac{e^{\frac{5}{2}\pi i } }{\sqrt{2}e^{-\tfrac{1}{4}\pi i}}=\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\tfrac{11}{4}\pi i} \end{eqnarray*}$

Und somit $\begin{eqnarray*} r=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi = \frac{3}{4} \pi \end{eqnarray*}$ .

09.02.2016, 18:15

Fenja

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Pfuuu

das ist ja nicht ohne. Ich versuche es mal mit einer anderen Aufgabe , aber in Etappen um dir Schreiberei zu ersparen..

Kann etwas dauern..

09.02.2016, 20:14

Fenja

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Also ich habe folgendes gemacht :

$\begin{eqnarray*} r = cos (\frac{7}{6} \pi )+ i* sin (\frac{7}{6} \pi ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(\frac{7}{6} \pi ) = - \frac{\sqrt{3} }{2} <br /> sin (\frac{7}{6} \pi ) = - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

dann :

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{\sqrt{3} }{2} - \frac{1}{2} i}{\sqrt{3}-i } \end{eqnarray*}$

Dann mit dem Komplexkonjungierten erweitert :

$\begin{eqnarray*} \frac{-2\frac{1}{2}- \sqrt{3}i }{4} \end{eqnarray*}$

Ist das vorgehen soweit richtig ?

ich befürchte ich habe hier irgendwo ein Bock drin..

09.02.2016, 20:17

Mathema

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Um welche Aufgabe geht es nun? verwirrt

09.02.2016, 20:19

Fenja

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Die Aufgabe ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{2 e^{\frac{7}{6} \pi *i } }{\sqrt{3}-i } \end{eqnarray*}$

Betrag r und Argumt phi berechnen

09.02.2016, 20:31

Mathema

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{\textcolor{red}{-}\frac{\sqrt{3} }{2} - \frac{1}{2} i}{\sqrt{3}-i } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-\frac{\sqrt{3} }{2} - \frac{1}{2} i)(\sqrt{3}+i)=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{\sqrt{3}}{2}i+\frac{1}{2}=-1-\sqrt{3}i \end{eqnarray*}$

Ich wäre ja wieder über die Polarform gegangen, aber das musst du ja wissen.

09.02.2016, 21:15

Fenja

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Hm was hast du jetzt gemacht ? Ich habe mir gerade den Weg mit dem Komplexkonjungieren eingearbeitet..

du hast den Zähler mal den Nenner genommen .. ja ?

Und dann ausmultipliziert das versuche ich auch mal..

09.02.2016, 21:22

Dopap

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Zähler mal Nenner wäre aber dann Zähler = Nenner weglassen unglücklich

Unfug!

09.02.2016, 21:27

Mathema

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Ich habe komplex konjugiert erweitert. Meine Rechnung sollte nur verdeutlichen, dass der rote Summand bei dir verkehrt ist. Der Rest ist in Ordnung.

$\begin{eqnarray*} \frac{\textcolor{red}{-2\frac{1}{2}}- \sqrt{3}i }{4} \end{eqnarray*}$

10.02.2016, 00:51

Fenja

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Soo jetzt habe ich mit dem Wert weiter gerechnet;

$\begin{eqnarray*} \frac{-1-\sqrt{3}i}{4} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich das umgestellt :

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4} -\frac{\sqrt{3} }{4} i \end{eqnarray*}$

für r habe ich komischerweise 0,96 raus

bei $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} arctan \left(\frac{\frac{-\sqrt{3} }{4} }{-\frac{1}{4} }\right) -\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi = \frac{7}{9} \end{eqnarray*}$

ist das in etwa richtig ?

10.02.2016, 02:16

Dopap

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Zitat:

Original von Fenja

$\begin{eqnarray*} \frac{-1-\sqrt{3}i}{4} \end{eqnarray*}$ Dann habe ich das umgestellt :

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4} -\frac{\sqrt{3} }{4} i \end{eqnarray*}$

schön, für die weitere Rechnung eher hinderlich.

$\begin{eqnarray*} r=|z|=\frac {\sqrt {(-1)^2+(-\sqrt 3)^2}}{4}=\frac 24=\frac 12 \end{eqnarray*}$

Zitat:

für r habe ich komischerweise 0,96 raus

in der Tat !

Zitat:

$\begin{eqnarray*} arctan \left(\frac{\frac{-\sqrt{3} }{4} }{-\frac{1}{4} }\right) -\pi \end{eqnarray*}$

so etwas lässt man nicht stehen! Etwas einfache Umformung ist zum eigenen Verständnis notwendig. Die 4 im Nenner ändert nicht den Winkel, also ohne 4 oder kürzen:

$\begin{eqnarray*} Arg(z)=\phi= -\pi + \arctan (\sqrt 3) \end{eqnarray*}$

so sieht es doch schöner aus. $\begin{eqnarray*} \phi = \frac 79 \end{eqnarray*}$ ist nicht mal "in etwa" richtig

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Ich hatte schon Schüler, die konnten mit den glatten Zahlen nicht ( gleich ) umgehen.
Da versuchte ich erst einmal "praktische" komplexe Zahlen ohne Brüche und Wurzeln und Tricks zu verwenden. z.B.

$\begin{eqnarray*} z=4.562 + 6.779i \end{eqnarray*}$
bestimme die Polardarstellung ( also Betrag =r und Argument = phi ) auf 4 Ziffern Genauigkeit.

wäre das was für dich ?

edit: warum bleibst du nicht bei deinem account?

10.02.2016, 07:02

Mathema

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Sorry - es fehlt noch der Faktor 2 (Radius).

$\begin{eqnarray*} \frac{\textcolor{red}{2} e^{\frac{7}{6} \pi *i } }{\sqrt{3}-i } \end{eqnarray*}$

Gewöhne dir doch gleich an den Radius hier mitzuschreiben:

$\begin{eqnarray*} z=r(\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)) \end{eqnarray*}$

Das hast du hier nicht gemacht:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} r = cos (\frac{7}{6} \pi )+ i* sin (\frac{7}{6} \pi ) \end{eqnarray*}$

Es ergibt sich also:

$\begin{eqnarray*} \frac{2 e^{\frac{7}{6} \pi *i } }{\sqrt{3}-i }=\frac{2(-1-\sqrt{3}i)}{4}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}i \end{eqnarray*}$

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