Konvergenz/Divergenz von zwei Reihen - Kriterium?

07.02.2016, 13:23

Xyarvius

Konvergenz/Divergenz von zwei Reihen - Kriterium?

Meine Frage:
Zeigen oder widerlegen sie dass folgende Reihen konvergieren:
(1) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^n} {2n} \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1-3(-1)^n} {2n} \end{eqnarray*}$
(3) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{n^2-5n+2} {n^4+3n+6} \end{eqnarray*}$
(4) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1} {(2n-1)(2n+1)} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Hallo, ich bin noch etwas von der Vielzahl an Kriterien für das Zeigen von Konvergenz/Divergenz von Reihen überwältigt. Könntet ihr mir helfen die besten/richtigen Kriterien für die entsprechenden Reihen zu finden? Ich habe da noch nicht das Gefühl. Die Beweise selbst sollten dann (vermutlich) kein Problem darstellen.

Bei (1) und (2) hatte ich erst an das Leibnitz-Kriterium gedacht da in beiden ein alternierendes Element steckt, jedoch scheinen die beiden Folgen ohne das alternierende Element keine Nullfolgen zu sein und mit dem Leibnitz-Kriterium lässt sich keine Divergenz zeigen.
Bei (3) hatte ich an das Quotientenkriterium gedacht.
Bei (4) könnte das Majorantenkriterium passen?

07.02.2016, 19:18

leoclid

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(1)
Leibnitzkriterium ist korrekt. Überlege dir, ob hier das $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ eine monoton fallende, reelle Nullfolge ist.

(2)
Zerlege die Summe in zwei einzelne Summen. Beim rechten Summenteil kannst du wieder das Leibnitzkriterium anwenden. Untersuche jetzt genau den linken Summenteil.

(3)
Dürfte mit dem Quotientenkriterium passen.

(4)
Majorantenkriterium ist anwendbar.

07.02.2016, 19:23

Guppi12

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Hallo,

kleiner Einwurf:

Das Quotientkriterium greift nicht bei (3). Das Majorantenkriterium ist anwendbar.

Bin wieder raus. Wink

07.02.2016, 19:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Guppi12
Das Quotientkriterium greift nicht bei (3).

So ist es, und das ist kein Zufall.

07.02.2016, 20:34

Xyarvius

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Danke für die Antworten smile

(1) Hat mittels Leibnizkriterium sehr gut geklappt.

(2) Hier zerlege ich quasi in $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{-3(-1)^n}{2n} \end{eqnarray*}$ was nach (1) konvergent sein müsste (da ein konstant Vielfaches auch wiederum konvergent ist) und in $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ was ja quasi die harmonische Reihe darstellt und somit divergent ist wodurch die ganze Reihe dann wohl divergent sein müsste. Reicht es so zu argumentieren? Angenommen ich wollte mittels Minorantenkriterium zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ divergiert, wie gehe ich da vor, da ja $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n} \leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ?

(3)Hier sage ich also: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ konvergiert bekannterweise. Dann zeige ich mittels Abschätzung dass $\begin{eqnarray*} \frac{n^2-5n+2} {n^4+3n+6}\leq \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ woraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{n^2-5n+2} {n^4+3n+6} \end{eqnarray*}$ konvergiert ?

(4) So wie bei (3)?

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