Beliebig oft differenzierbare Funktionen abschnittsweise definiert

07.02.2016, 17:26

JannisH

Beliebig oft differenzierbare Funktionen abschnittsweise definiert

Meine Frage:
Gegegen ist
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \longrightarrow \mathbb R: f(x)=\left\{\begin{array}{lll} \frac{\sin(x) }{x} &; & x\neq 0 \\ \,\,\,\,1 &; & x=0\end{array}\right. \end{eqnarray*}$
Gezeigt werden soll, dass f beliebig oft diff.bar ist.
Außerdem soll $\begin{eqnarray*} f^{(n)} (0) \,\,\, \forall n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ermittelt werden.

Meine Ideen:
Zuerst habe ich die Stetigkeit von f für alle x gezeigt.
Weiterhin denke ich, dass mir die Potenzreihendarstellung von f(x) weiterhelfen könnte
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \left(-1\right) ^{k} \frac{x^{2k} }{\left(2k+1\right)! } \end{eqnarray*}$

08.02.2016, 11:08

Huggy

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RE: Beliebig oft differenzierbare Funktionen abschnittsweise definiert

Zitat:

Original von JannisH
Weiterhin denke ich, dass mir die Potenzreihendarstellung von f(x) weiterhelfen könnte

Das kann sie. Denn die Potenzreihe von $\begin{eqnarray*} \sin (x) /x \end{eqnarray*}$ ist auch bei $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ definiert und hat dort den in der Definition von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gegebenen Wert. Und Potenzreihen sind innerhalb ihres Konvergenzradiuses beliebig oft differenzierbar.

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