Punktweise und gleichmäßige Konvergenz

07.02.2016, 17:27

Flonkon

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Punktweise und gleichmäßige Konvergenz

Hallo ich habe hier folgende Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme.

Aufgabe: Untersuchen Sie im abgeschlossenen Intervall $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ die Funktionenreihe:

$\begin{eqnarray*} 1-3 \sum_{k=0}^{\infty} x^k \end{eqnarray*}$

a) auf punktweise Konvergenz
b) auf gleichmäßige Konvergenz

Also ich soll wohl die PArtialsummen betrachen:

$\begin{eqnarray*} s_n(x) = 1-3 \sum_{k=0}^{n} x^k \end{eqnarray*}$

Für a) mache ich jetzt folgendes :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty} \left| 1-3 \cdot 1^n \right| = 2 \end{eqnarray*}$

Also ist es punktweise konvergent richtig ?

Für die Gleichmäßige Konvergenz schaue ich mir das nocheinmal an:

$\begin{eqnarray*} \left| 1-3 \cdot x^n - 4 \right| \leq 2 < \epsilon \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ist auch gleichmäßig konvergent.

Ist das so richtig oder übersehe ich etwas ?
Vielen Dank schonmal ...

07.02.2016, 17:56

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RE: Punktweise und gleichmäßige Konvergenz
Bitte erklär mir, woher die linke Seite der Gleichung $\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty} \left| 1-3 \cdot 1^n \right| = 2 \end{eqnarray*}$ stammt und was sie mit deiner Aufgabe zu tun hat.
Ich denke, du solltest dir geometrische Reihe anschauen.

07.02.2016, 18:04

Flonkon

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Ich habe mir überlegt ich setze jetzt einfach mal eine die obere Intervallgrenze ein und schau mal wo ich lande.

Sollte ich dabei so herangehen das ich den expliziten Ausdruck nehme und damit an den Intervallgrenzen teste ?

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \rightarrow \infty} \left| 1-3 \frac{1}{1-x} \right| = 1- \frac{3}{1-x} \end{eqnarray*}$

07.02.2016, 18:40

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Was soll jetzt der Grenzübergang k gegen Unendlich?
Also mal ganz von Anfang an zum Vorgehen für die punktweise Konvergenz an diesem Beispiel. Zu untersuchen ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}s_n(x) \end{eqnarray*}$ für ein festes $\begin{eqnarray*} x\in[-1,1] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_n(x) \end{eqnarray*}$ kann man für $\begin{eqnarray*} x\neq 1 \end{eqnarray*}$ mit der geometrischen Summenformel umschreiben und dann den Grenwert $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ bilden - jedenfalls wenn $\begin{eqnarray*} x\neq -1 \end{eqnarray*}$ ist. Dann schaut man abschließend den Fall $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ an.

07.02.2016, 19:14

Flonkon

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Ich meinte beim Grenzübergang natürlich n gegen Unendlich.

Ich habe irgendwie Schwierigkeiten das ganze auf Papier zu bringen in der richtigen Schreibweise,
schaue ich mir das ganze nochmal an:

Für $\begin{eqnarray*} x=1 \text{ gilt } 1-3 \sum_{k=0}^{n} x^k = 1-3 = -2 \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} x\neq 1 \text{ gilt } 1- \frac{3}{1-x} \end{eqnarray*}$

Also konvergiert $\begin{eqnarray*} (s_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ punktweise gegen die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x):\left\{\begin{array}{ll} -2, & x = 1 \\<br /> 1-\frac{3}{1-x}, & -1<x<1\end{array}\right. \end{eqnarray*}$

Soweit okay ?

07.02.2016, 19:18

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Was bekommst du heraus,wenn du in $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n} x^k \end{eqnarray*}$ den Wert x=1 einsetzt?

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07.02.2016, 19:29

Flonkon

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Na $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ natürlich

07.02.2016, 19:36

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Natürlich

Forum Kloppe

Schreib dir $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n} x^k \end{eqnarray*}$ für n=3 explizit auf und setze dann x=1

07.02.2016, 20:09

Flonkon

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Natürlich

Hammer

für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ bekommen wir dann natürlich $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$
Also konvergiert $\begin{eqnarray*} (s_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ punktiweise gegen die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)= 1 - \frac{3}{x-1}, -1 < x < 1 \end{eqnarray*}$

Und wie ist das Vorgehen um jetzt die gleichmäßige Konvergenz zu prüfen ?

07.02.2016, 20:38

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Das weitere Vorgehen wäre, das Vorzeichen in f in Ordnung zu bringen und den Fall x=-1 ordentlich zu behandeln.

07.02.2016, 20:46

Flonkon

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Och Mensch ich glaub ich hab mich jetzt völlig verrannt ... Welches Vorzeichen denn ?
Für denn Fall x=-1 bekämen wir dann 1 raus also konvergiert auch.
Welches Vorzeichen genau hab ich nu verrissen ?

07.02.2016, 20:59

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Was ist der Wert der geometrischen Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} x^k \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} -1<x<1 \end{eqnarray*}$ ?
Erklär mir den Fall x=-1

07.02.2016, 21:13

Flonkon

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Der Wert der geometrischen Reihen ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-1} , -1 < x < 1 \end{eqnarray*}$
Bei dem Fall $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ hätten wir ein alternierendes Vorzeichen und somit ist es für gerade n dann $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und für ungerade n $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .

07.02.2016, 21:17

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Dann setz mal x=0 in die geometrische Reihe ein.

und was sagt das für die punktweise Konvergenz im Fall x=-1 aus?

07.02.2016, 21:22

Flonkon

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Okay für x=0 bekämen wir dann -1 heraus, im Fall x=-1 ist es dann unbestimmte Divergenz.

07.02.2016, 21:33

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Zitat:

Okay für x=0 bekämen wir dann -1 heraus,

kommt dir das nicht komisch vor? Du setzt eine nicht negative Zahl ein, alle Summanden sind nicht negativ und das Ergebnis ist -1
Richtig wäre $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} x^k =\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

07.02.2016, 21:39

Flonkon

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Ach verdammt unglücklich

unglücklich

also für x=0 dann also 1, klar das kann natürlich nicht sein.

Das bedeutet aber trotzdem, dass die vorherige Aussage richtig war oder ?

$\begin{eqnarray*} f(x) = 1- \frac{3}{1-x} \text{ für } -1 < x < 1<br /> 1 \text{ ist divergent }<br /> -1 \text{ ist unbestimmt divergent }<br /> \end{eqnarray*}$

Falls das so stimmt gib mir doch bitte noch einen Tipp wie ich auf die Gleichmäßigkeit prüfe.

07.02.2016, 21:50

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Die vorige Aussage war noch

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x)= 1 - \frac{3}{x-1}, -1 < x < 1 \end{eqnarray*}$

und wie du siehst, war tatsächlich das Vorzeichen des zweiten Terms falsch.

Es gibt einen Satz über die gleichmäßige Konvergenz von Potenzreihen, den man hier verwenden kann.

07.02.2016, 22:34

Flonkon

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Leider weiß ich nicht welchen Satz du meinst, ich mutmaße einfach mal das hier keine gleichmäßige Konvergenz vorliegt, da an den Randpunkten eine beliebige Größe erreicht werden kann.
Wie aber schreibe ich das auf ?

07.02.2016, 22:44

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Eine Potenzreihe konvergiert gleichmäßig auf jeder kompakten Teilmenge ihres Konvergenzbereiches.

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