Koeffizienten bestimmten von trigonometrischem Polynom

07.02.2016, 17:45

Flonkon

Koeffizienten bestimmten von trigonometrischem Polynom

Halli Hallo, ich schon wieder folgende Aufgabe habe ich hier und verstehe nicht ganz das Ergebnis:

Aufgabe: Die durch $\begin{eqnarray*} f(t) = 3e^{-3it} (1+e^{it})^2 - 6\cos{2t}+6i\sin{2t}, t \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , gegebene Funktion ist ein trigonometrisches Polynom vom Grad3 und lässt sich darum in der Form : $\begin{eqnarray*} f(t) = \sum_{k=-3}^{3} c_k e^{kit} \end{eqnarray*}$ darstellen. Geben Sie die Koeffiezienten $\begin{eqnarray*} c_{-3},c_{-2},c_{-1},c_{0},c_{1},c_{2},c_{3} \end{eqnarray*}$ an.

Ich habe angefangen und zunächst einmal ausmultipliziert:

$\begin{eqnarray*} f(t) = 3e^{-3it} (1+e^{it})^2 - 6\cos{2t}+6i\sin{2t} = 3e^{-3it}+3e^{-1it} - 6\cos{2t}+6i\sin{2t} = 3e^{-3it} + 3e^{-it} - \frac{6e^{2it} + 6e^{-2it}}{2} + \frac{6e^{2it} - 6e^{-2it}}{2i} \end{eqnarray*}$ jetzt komm ich danach auf abgefahrene Werte wenn ich mit den Brüchen weiterrechne. Hier muss mein Fehler sein, denn die Lösung ist soweit ich weiß die folgende:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow c_{-3} = 3, c_{-1} = 3 \text{ alle anderen } = 0 \end{eqnarray*}$

Wo habe ich meinen Denkfehler bei den Brüchen ?

Vielen Dank schon einmal ...

07.02.2016, 17:52

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RE: Koeffizienten bestimmten von trigonometrischem Polynom
Was ist $\begin{eqnarray*} (1+e^{it})^2 \end{eqnarray*}$ ?
Für mich sieht es so aus, als wäre bei dir $\begin{eqnarray*} (a+b)^2=a^2+b^2 \end{eqnarray*}$

07.02.2016, 18:00

Flonkon

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Es ist in diesem Fall $\begin{eqnarray*} (1+e^{it})^2 = 1 + 2e^{it} + e^{2it} \end{eqnarray*}$ Das dann multipliziert mit $\begin{eqnarray*} 3e^{-3it} = 3e^{-3it} + 6e^{-3it} + 3e^{-it} = 9e^{-3it}+3^{-it} \end{eqnarray*}$

Soweit richtig ?

07.02.2016, 18:34

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Das erste Gleichheitszeichen in

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 3e^{-3it} = 3e^{-3it} + 6e^{-3it} + 3e^{-it} = 9e^{-3it}+3^{-it} \end{eqnarray*}$

ist einfach nur grauenhaft. Gewöhn dir sorgfältige Schreibweisen an, sonst wird das nix.
Der Rest ist nicht besser.

07.02.2016, 18:52

Flonkon

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Okay tut mir Leid ich versuch es noch einmal von vorne mit einer anständigen Schreibweise:

$\begin{eqnarray*} 3e^{-3it} \cdot (1+e^{it}) = 3e^{-3it} \cdot (1+2e^{it} + e^{2it}) = 3e^{-3it} + 6e^{-2it} + 3e^{-it} \end{eqnarray*}$

Da habe ich mich wohl etwas überstürzt verrechnet, nochmals Entschuldigung.

$\begin{eqnarray*} 3e^{-3it} \cdot (1+e^{it}) = 3e^{-3it} \cdot (1+2e^{it} + e^{2it}) = 3e^{-3it} + 6e^{-2it} + 3e^{-it} - \frac{6e^{2it} + 6e^{-2it}}{2} + \frac{6e^{2it} - 6e^{-2it}}{2i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 3e^{-3it} + 6e^{-2it} + 3e^{-it} - 3e^{2it} + 3e^{-2it} + \frac{6}{2i}e^{2it} - \frac{6}{2i}e^{-2it} \end{eqnarray*}$

Die letzte Zeile sieht mir irgendwie konfus aus ? Was habe ich denn nun wieder falsch gemacht ?

Vielen Dank schon einmal ...

07.02.2016, 19:05

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Zitat:

versuch es noch einmal von vorne mit einer anständigen Schreibweise:

und machst es dann gleich wieder kaputt
$\begin{eqnarray*} 3e^{-3it} \cdot (1+2e^{it} + e^{2it}) \textcolor{red}{=} 3e^{-3it} + 6e^{-2it} + 3e^{-it} - \frac{6e^{2it} + 6e^{-2it}}{2} + \frac{6e^{2it} - 6e^{-2it}}{2i} \end{eqnarray*}$ böse

Schau dir den Faktor vor dem Sinus nochmal an.

07.02.2016, 19:28

Flonkon

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Ach Mensch ich bin nicht mehr ganz wach, vielen Dank für die Kritik und die Tipps.
Hab etwas Nachsicht ich bin noch in der Lehre, aber immer gut wenn man auf etwas hingewiesen wird.
$\begin{eqnarray*} 3e^{-3it}+6e^{-2it}+3e^{-it} - \frac{6e^{2it} + 6e^{-2it}}{2}+\frac{6ie^{2it}-6ie^{-2it}}{2i} \Rightarrow 3e^{-3it}+6e^{-2it}+3e^{-it} - 3e^{2it} + 3e^{-2it} + 3e^{2it} - 3e^{-2it} \Rightarrow 3e^{-3it} + 6e^{-2it} + 3e^{-it} \end{eqnarray*}$

Daraus kann ich dann die folgenden Koeffizienten ablesen:

$\begin{eqnarray*} c_{-3} = 3, c_{-2} = 6, c_{-1} = 3, \text{ und } c_0 = 1 \end{eqnarray*}$ alle anderen Koeffizienten sind gleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .

Wie sieht es jetzt aus ? Kannst du das so bestätigen ?

07.02.2016, 19:39

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Nein, da ist noch immer ein Fehler
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 3e^{-3it}+6e^{-2it}+3e^{-it} - 3e^{2it} \textcolor{red}{+} 3e^{-2it} + 3e^{2it} - 3e^{-2it} \end{eqnarray*}$

07.02.2016, 19:50

Flonkon

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Okay nachdem ich alle Regeln der Mathematik missachtet habe, also noch einmal:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 3e^{-3it} + 6e^{-2it} + 3e^{-it}-3e^{2it}-3e^{-2it}+3e^{2it}-3e^{-2it} \Rightarrow 3e^{-3it}+3e^{-it} \end{eqnarray*}$
Die Koeffizienten lauten also:

$\begin{eqnarray*} c_{-3} = 3, c_{-1} = 3, c_{0} = 0 \end{eqnarray*}$ und der Rest ist gleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$

07.02.2016, 19:59

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07.02.2016, 20:02

Flonkon

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Vielen Dank für die Geduld mit mir Hammer

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