Basis von U geschnitten V

07.02.2016, 20:10

sx9

Basis von U geschnitten V

Meine Frage:
Hi Leute!

Ich habe eine Frage zu folgender Problemstellung:

Gegeben sind zwei Vektorräume U,V mit den Basen
$\begin{eqnarray*} B_U = <(-2,1,0,0),(1,0,1,0),(-5,0,0,1)> \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B_V = <(-2,0,4,2),(3,-1,2,1)> \end{eqnarray*}$

Gesucht ist jetzt die Basis des Vektorraums $\begin{eqnarray*} U\cap V \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Nun habe ich durch stöbern hier im Forum und durch eigenes nachdenken herausbekommen, dass für ein Vektor $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} U\cap V = \{a | a\in U \wedge a\in V\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a=\lambda_1u_1+\lambda_2u_2+\lambda_3u_3=a=\nu_1v_1+\nu_2v_2 \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} u_1,u_2,u_3 \in B_U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_1,v_2 \in B_V \end{eqnarray*}$

woraus ich folgende Beziehung geschlossen habe:
$\begin{eqnarray*} \lambda_1u_1+\lambda_2u_2+\lambda_3u_3-\nu_1v_1-\nu_2v_2=0 \end{eqnarray*}$

[attach]40796[/attach]

Super, dachte ich mir, das kann ich ja in eine Matrix schreiben mit den Basisvektoren als Zeilenvektoren und kann da einfach mal den Gauß drüber laufen lassen um die einzelnen Kofaktoren rauszubekommen (Siehe Anhang).
Anschließend kann ich ja dann die Kofaktoren einfach mit den Basisvektoren multiplizieren, das ganze nochmal mit Gauß linear unabhängig machen und dann hab ich die Basis!
Nur eins hat mich gewundert: Zum einen hat die Basis dim=4, obwohl der Vektorraum nur den Schnitt darstellt.

[attach]40797[/attach]

Also hab ich zur Probe mir einen einfachen Koordinatenvektor $\begin{eqnarray*} \left[v\right]_{U\cap V} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ausgedacht den mit meiner neuen Basis ausmultipliziert und den versucht mithilfe der Basis B_U darzustellen.

Das hat leider nicht so ganz geklappt...

[attach]40798[/attach]

Wahrscheinlich hätte ich nicht $\begin{eqnarray*} \lambda_1u_1+\lambda_2u_2+\lambda_3u_3-\nu_1v_1-\nu_2v_2=0 \end{eqnarray*}$ implizieren sollen.

Jetzt die Frage, was hab ich da jetzt eigentlich ausgerechnet und was hätte ich ausrechnen müssen um meine gesuchte Basis zu erhalten?

Danke schonmal im Vorraus smile

07.02.2016, 20:50

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RE: Basis von U geschnitten V

Zitat:

Super, dachte ich mir, das kann ich ja in eine Matrix schreiben mit den Basisvektoren als Zeilenvektoren und kann da einfach mal den Gauß drüber laufen lassen

Damit bekommst du eine Basis des Vektorraumes, der von den Zeilenvektoren aufgespannt wird

08.02.2016, 00:36

sx9

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RE: Basis von U geschnitten V
Und wie bekomme ich die gesuchte Basis heraus?

08.02.2016, 10:37

klarsoweit

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RE: Basis von U geschnitten V

Zitat:

Original von sx9
woraus ich folgende Beziehung geschlossen habe:
$\begin{eqnarray*} \lambda_1u_1+\lambda_2u_2+\lambda_3u_3-\nu_1v_1-\nu_2v_2=0 \end{eqnarray*}$

Das ist durchaus korrekt. Jetzt mußt du das ganze in ein Gleichungssystem gießen. Das ergibt - da deine Vektoren jeweils aus 4 Komponenten bestehen - 4 Gleichungen mit 5 Unbekannten. Augenzwinkern

08.02.2016, 15:47

sx9

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RE: Basis von U geschnitten V
Ich denke ich habe dann einen Freiheitsgrad, oder?

08.02.2016, 16:00

klarsoweit

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RE: Basis von U geschnitten V
Das würde ich erwarten. Ggf. auch mehr als einen. smile

08.02.2016, 23:22

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RE: Basis von U geschnitten V
Nach den zuvor angestellten Rechnungen erwarte ich genau einen Freiheitsgrad smile

09.02.2016, 17:44

sx9

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RE: Basis von U geschnitten V
Ich frage mich nur was ich mit diesem Freiheitsgrad machen soll? verwirrt

09.02.2016, 18:27

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RE: Basis von U geschnitten V
Damit weißt du jetzt, wie die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} \nu_1, \nu_2 \end{eqnarray*}$ aussehen und kennst damit a.

13.02.2016, 10:00

sx9

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RE: Basis von U geschnitten V
OK,
ist dann dieser Freiheitsgrad die Dimension meiner Basis?

13.02.2016, 11:07

sx9

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RE: Basis von U geschnitten V
Hab die Lösung gefunden!
Eine gute Anleitung zu dem Thema "Schnitt und Summe von UVR" gibt es auf "massmatics.de".
(Den vollen Link darf ich leider nicht posten)

14.02.2016, 17:08

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RE: Basis von U geschnitten V
Eine Basis hat keine Dimension, du bringst da Begriffe durcheinander. Der eine Freiheitsgrad bedeutet, dass deine Basis nur einen Vektor enthält.
Wenn ich richtig gerechnet habe, ist $\begin{eqnarray*} \nu_1=-\nu_2 \end{eqnarray*}$ , damit $\begin{eqnarray*} a=\nu_1v_1+\nu_2v_2=\nu_1(v_1-v_2) \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} v_1-v_2 \end{eqnarray*}$ eine Basis.

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