Integrieren

08.02.2016, 11:22	Ballonfahrer1	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrieren Hallo, ich habe erneut eine Frage zum integrieren. $\begin{eqnarray} \int_{}^{}\! \frac{-2x-6}{x^{2}+2x+2 } \, dx \end{eqnarray}$ Nach einer PBZ bleibt dieser Rest übrig, der noch integriert werden muss. Allerdings bekomme ich bei dieser Integration nicht das raus, was rauskommen soll. Ich habe mir überlegt, denn Nenner zu substituieren, aber das scheint nicht zu funktionieren. Vielen Dank.
08.02.2016, 11:24	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Nenner ist $\begin{align} x^2+2x+2 = (x+1)^2+1 \end{align}$ . Wenn eine Substitution sinnvoll ist, dann $\begin{align} u=x+1 \end{align}$ , angesichts des Grundintegrals $\begin{align} \int \frac{1}{u^2+1} ~ \dd u = \arctan(u)+C \end{align}$ . Und dann gilt ja noch (logarithmische Integration) $\begin{align} \int \frac{2u}{u^2+1} ~ \dd u = \ln(u^2+1)+C \end{align}$ .
08.02.2016, 11:47	Ballonfahrer1	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. Das sieht sehr gut aus. Hatte die Ableitung vom tan zwar parat, aber nicht gesehen, dass es so funktioniert. Allersdings weiß ich noch nicht, wie ich beide jetzt verküpfen soll bzw. wie du beide Integrale auseinander gezogen hast. $\begin{eqnarray} -\int_{}^{} \! (2x+6)\frac{1}{u^{2}+1 } \, dx \end{eqnarray*}$ Wenn ich nun substituiere und dx durch du ersetze, weil dx=du, habe ich ja noch die Klammer davorstehen, die dann doch eigentlich nicht mitintegriert wird.
08.02.2016, 12:02	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Du mußt erst mal die Substitution x = u - 1 komplett durchziehen. Erst dann kannst du das in geeignete Grundintegrale auseinanderziehen.
08.02.2016, 12:20	Ballonfahrer1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann habe ich da stehen: $\begin{eqnarray} -\int_{}^{} \! \frac{2u+4}{u^{2}+1 } \, dx \end{eqnarray}$ Wie ziehe ich denn nun das ganze auseinander?
08.02.2016, 12:46	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
HAL 9000 hat es doch angedeutet: $\begin{eqnarray} \frac{2u+4}{u^2+1} = \frac{2u}{u^2+1} + \frac{4}{u^2+1} \end{eqnarray}$
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08.02.2016, 13:57	Ballonfahrer1	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, vielen Dank für die Hilfe!

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