Integral komplexer e-Funktion berechnen

08.02.2016, 19:01

AnnaNatascha

Integral komplexer e-Funktion berechnen

Meine Frage:
Hallo zusammen,

momentan sitze ich vor einem Integral, welches mir ziemlich große Bauchschmerzen bereitet:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^{\infty } \! e^{-x^2-ipx} \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe das Gefühl, dass dieses Integral mit keiner meine bekannten Standardmethoden wie zum Beispiel der partiellen Integration lösbar ist...
Der Integralrechner bekommt $\begin{eqnarray*} \sqrt{\pi } e^{-p^2/4} \end{eqnarray*}$ heraus, aber ich habe absolut keine Ahnung, mit welcher Methode ich zum Ziel komme...
Hat jemand von euch eine Idee?
Vielen lieben Dank schon einmal für jegliche Hilfe.

08.02.2016, 20:00

Mathema

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Vielleicht hilft ja folgendes:

$\begin{eqnarray*} x^2+ipx=(x+\tfrac{ip}{2})^2+\tfrac{p^2}{4} \end{eqnarray*}$

Ist natürlich einfacher zu sehen, wenn man die Lösung kennt. Augenzwinkern

08.02.2016, 20:24

AnnaNatascha

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Danke! Dann hätte ich ja so etwas dastehen:
$\begin{eqnarray*} e^{-p^2/4} \int_{-\infty }^{\infty } \! e^{-(x+ip/2)^2} \, dx \end{eqnarray*}$
Wie würde man dann weitermachen?
Rein intuitiv hätte ich x+ip/2 substituiert...
Aber irgendwie komme ich noch nicht zum Ziel...Wieso ist das Integral denn Wurzel(Pi)?
Wie kann ich das einsehen?
Vielen lieben Dank schon einmal.

08.02.2016, 20:34

Mathema

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Das ist das Gaußsche Integral

08.02.2016, 20:37

AnnaNatascha

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Ohja, das hatten wir sogar mal vor Wochen in der Vl berechnet...ich erinnere mich Hammer

Vielen lieben Dank für deine Hilfe Wink

08.02.2016, 20:38

Mathema

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Welch ein Glück. Augenzwinkern

Gerne.

08.02.2016, 20:58

HAL 9000

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Die Gleichheit $\begin{align*} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} ~ \dd x = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-(x+ip/2)^2} ~ \dd x \end{align*}$ ist an sich aber schon noch zu begründen. Augenzwinkern

08.02.2016, 21:07

Mathema

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Zitat:

Rein intuitiv hätte ich x+ip/2 substituiert...

Reicht das denn nicht? verwirrt

08.02.2016, 21:14

HAL 9000

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Dann hast du einen Integrationsweg (salopp geschrieben)

$\begin{align*} \int\limits_{-\infty+ip/2}^{\infty+ip/2} e^{-z^2} ~ \dd z \end{align*}$

Wieso soll das ohne Begründung dasselbe sein wie $\begin{align*} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-z^2} ~ \dd z \end{align*}$ ?

08.02.2016, 21:42

Mathema

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Hmm - für reelles a ist doch folgendes definiert, wenn ich mich recht erinnere?!

$\begin{eqnarray*} \infty +a:=\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\infty +a:=-\infty \end{eqnarray*}$

Nun ist unser a ja komplex. Macht das nun ein Unterschied? Anscheinend ja nicht, wenn man sich das Ergebnis anguckt.

Aber vielleicht fällt AnnaNatascha ja noch eine Begründung ein.

08.02.2016, 21:46

HAL 9000

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Hmm, ich sehe, es mangelt noch an Problembewusstsein hinsichtlich der Integrationswege in der komplexen Ebene.

08.02.2016, 21:54

AnnaNatascha

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Ohje...
Also ich hätte jetzt knallhart das Relle auf das Komplexe übertragen, wie Mathema, ohne groß drüber nachzudenken...
Umso länger ich darüber nachdenke, umso klarer wird mir das Problem, in der Klausur hätte ich so etwas trotz dessen auf das Gaußintegral zurückgeführt und auf die Ignoranz des Übungsleiter gehofft...
Aber HAL 9000, hast du eine Idee, wie man die Gleichheit begründen könnte?

Vielen lieben Dank für eure tatkräftige Unterstützung!

08.02.2016, 21:56

HAL 9000

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Man betrachtet für festes $\begin{align*} R>0 \end{align*}$ den geschlossenen rechteckigen Integrationsweg

$\begin{align*} K_R:\quad -R \to R \to R+ip/2 \to -R+ip/2 \to -R \end{align*}$ .

Da $\begin{align*} e^{-z^2} \end{align*}$ auf ganz $\begin{align*} \mathbb{C} \end{align*}$ holomorph ist, gilt $\begin{align*} \oint\limits_{K_R} e^{-z^2} ~ \dd z = 0 \end{align*}$ . Wenn es nun noch gelingt, die beiden Integrale über die "kurzen" Seiten

$\begin{align*} \int\limits_R^{R+ip/2} e^{-z^2} ~ \dd z \end{align*}$ und $\begin{align*} \int\limits_{-R}^{-R+ip/2} e^{-z^2} ~ \dd z \end{align*}$

so betragsmäßig nach oben abzuschätzen, dass diese oberen Schranken für $\begin{align*} R\to\infty \end{align*}$ verschwinden, so ist der Beweis erbracht. Ist nicht schwer, aber gehört eben dazu.

08.02.2016, 22:02

AnnaNatascha

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Okay...
Ja das schwierige an der Sache ist vor allem das "Sehen"...
Aber klar...

Vielen lieben Dank an euch beide!
Jetzt kann mir (fast) kein Integral mehr im Wege stehen xD

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