Verteilungsfunktion

08.02.2016, 22:26

Verteilungsfunktion

Meine Frage:
Es geht um den Wahrscheinlichkeitsraum der Punkte P=(a,b) aus dem [0,3]x[0,1] mit Gleichverteilung und der Zufallsvariable X(a,b)=a+b
Bestimmt werden soll die Verteilungsfunktion...

Mir ist klar, dass die Verteilungsfunktion:
0 falls x<0
1 falls x>4

und dass die Intervalle dazwischen von
0=<x=<1
1<x=<3
3<x=<4

Allerdings verstehe ich leider da die jeweiligen Funktionen nicht :S
Kann mir jemand erklären wie man darauf kommt?
$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}}{3} \end{eqnarray*}$ falls 0=<x=<1
$\begin{eqnarray*} \frac{0,5+(x-1)}{3} = \frac{x-0,5}{3} \end{eqnarray*}$ falls 1<x=<3
$\begin{eqnarray*} \frac{3-0,5(x-1)^{2}}{3} \end{eqnarray*}$ falls 3<x=<4

Meine Ideen:

Mir ist klar, dass die Verteilungsfunktion:
0 falls x<0
1 falls x>4

und dass die Intervalle dazwischen von
0=<x=<1
1<x=<3
3<x=<4

09.02.2016, 08:04

HAL 9000

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Zunächst mal sind zwei Fehler drin: Für $\begin{align*} 0\leq x\leq 1 \end{align*}$ ist der Verteilungsfunktionswert nicht $\begin{align*} \frac{x^2}{3} \end{align*}$ , sondern $\begin{align*} \frac{x^2}{6} \end{align*}$ . Und für $\begin{align*} 3\leq x\leq 4 \end{align*}$ ist es $\begin{align*} 1-\frac{(4-x)^2}{6} \end{align*}$ . Die Formel für den Mittelteil $\begin{align*} 1\leq x\leq 3 \end{align*}$ ist richtig.

Mit der Faltungsformel

$\begin{align*} f_X(t) = f_{A+B}(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_A(t-b) f_B(b) ~ \dd b \end{align*}$

kannst du zunächst die Dichte der Summenzufallsgröße $\begin{align*} X=A+B \end{align*}$ berechnen, wobei bei dir

$\begin{align*} f_A(a) = \begin{cases} \frac{1}{3} &\;\mbox{für}\; 0\leq a\leq 3\\ 0&\;\mbox{sonst}\end{cases} \end{align*}$ und $\begin{align*} f_B(b) = \begin{cases} 1 &\;\mbox{für}\; 0\leq b\leq 1\\ 0&\;\mbox{sonst}\end{cases} \end{align*}$

gilt. Anschließend kannst du daraus die Verteilungsfunktion als Integralfunktion

$\begin{align*} F_X(x) = \int\limits_{-\infty}^x f_X(t) ~ \dd t \end{align*}$

bestimmen.

Das hier

Zitat:

Original von l8
Mir ist klar, dass die Verteilungsfunktion:
0 falls x<0
1 falls x>4

ist schon mal richtig.

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