Empirische Varianz

09.02.2016, 13:41	MATHMeister81	Auf diesen Beitrag antworten »
Empirische Varianz Meine Frage: Hallo, ich habe eine Frage: Ich habe die empirische Varianz für eine Stichprobe von 9 Beobachtungen gegeben und ich habe die empirische Varianz für eine Stichprobe von 5 Beobachtungen gegeben. Es geht um das selbe Merkmal! Jetzt soll ich die empirische Varianz der Gesamtstichprobe ausrechen! Kann ich das einfach Anteilsmäßig addieren? Also ungefähr so: $\begin{eqnarray} \frac{\Im ^{2} 5+\Im ^{2}9 }{14} \end{eqnarray}$ oder ist das falsch? Meine Ideen: Oder gibt es irgendeine Formel?
09.02.2016, 14:23	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
In die empirische Varianz geht auch noch der Mittelwert der Stichprobe ein! Genauer gesagt: Wenn die erste Stichprobe aus den Werten $\begin{align} x_1,\ldots,x_n \end{align}$ und die zweite aus den Werten $\begin{align} x_{n+1},\ldots,x_{n+m} \end{align}$ besteht, dann gilt $\begin{align} s_1^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{k=1}^n (x_i-\bar{x}_1)^2 = \frac{1}{n-1} \left( \sum_{k=1}^n x_i^2 - n\bar{x}_1^2 \right) \end{align}$ mit $\begin{align} \bar{x}_1 = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_i \end{align}$ . $\begin{align} s_2^2 = \frac{1}{m-1} \sum_{k=n+1}^{n+m} (x_i-\bar{x}_2)^2 = \frac{1}{m-1} \left( \sum_{k=n+1}^{n+m} x_i^2 - m\bar{x}_2^2 \right) \end{align}$ mit $\begin{align} \bar{x}_2 = \frac{1}{m} \sum_{k=n+1}^{n+m} x_i \end{align}$ . Die Gesamtvarianz ist nun $\begin{align} s^2 = \frac{1}{n+m-1} \sum_{k=1}^{n+m} (x_i-\bar{x})^2 = \frac{1}{n+m-1} \left( \sum_{k=1}^{n+m} x_i^2 - (n+m)\bar{x}^2 \right) \end{align}$ mit $\begin{align} \bar{x} = \frac{1}{n+m} \sum_{k=1}^{n+m} x_i \end{align}$ . Zur Umrechnung: Es ist $\begin{align} (m+n)\bar{x} = \sum_{k=1}^{n+m} x_i = n\bar{x}_1 + m\bar{x}_2 \end{align}$ , also $\begin{align} \bar{x} = \frac{n\bar{x}_1 + m\bar{x}_2}{n+m} \end{align}$ . Und es ist $\begin{align} (n+m-1)s^2 + (n+m)\bar{x}^2 = \sum_{k=1}^{n+m} x_i^2 = (n-1)s_1^2 + n\bar{x}_1^2 + (m-1)s_2^2 + m\bar{x}_2^2 \end{align}$ Demnach ist umgestellt $\begin{align} s^2 &= \frac{1}{n+m-1} \left( (n-1)s_1^2 + (m-1)s_2^2 + n\bar{x}_1^2 + m\bar{x}_2^2 - (n+m)\bar{x}^2 \right)\\ &= \frac{1}{n+m-1} \left( (n-1)s_1^2 + (m-1)s_2^2 + \frac{nm}{n+m}\left( \bar{x}_1-\bar{x}_2\right)^2 \right) \end{align}$ Sind beide Mittelwerte gleich, d.h. $\begin{align} \bar{x}_1=\bar{x}_2 \end{align}$ , dann vereinfacht sich das ganze zu $\begin{align} s^2 = \frac{1}{n+m-1} \left( (n-1)s_1^2 + (m-1)s_2^2 \right) \end{align}$ , in deinem Fall $\begin{align} s^2 = \frac{1}{13} \left( 4s_1^2 + 8s_2^2 \right) \end{align}$ . P.S.: Diese Betrachtungen gehen davon aus, dass du (wie es sich normalerweise gehört) die korrigierte empirische Varianz verwendest.
14.02.2016, 14:26	MathMeister81	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Du hast mir sehr weitergeholfen! Wirklich gut erklärt!
06.10.2022, 15:17	HappyFritz	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, dieser Thread hat mir bereits sehr geholfen. Allerdings ist mir eine Sache nicht ganz klar, daher hole ich ihn nochmal an die Oberfläche. Ich untersuche Messdaten und gruppiere die Daten abhängig von 2 Messgrößen. Darauf basierend erzeuge ich eine Matrix und bilde für jedes Feld dieser Matrix einmal den Mittelwert einer 3. Messgröße und einmal die Standardabweichung. Also z.B. Mittelwert und Standardabweichung in Abhängigkeit vom Monat und vom Jahr. Für weitere Auswertungen fasse ich dann z.B. die Ergebnisse für den Januar über alle Jahre zusammen. Dafür nutze ich genau die bereits formulierten Formeln. Jetzt würde ich gerne auch die Standardabweichung der Standardabweichung auswerten und wie vorher aus verschiedenen Messperioden zusammenfassen. Was ändert sich dann an den Formeln? Da die mittlere Standardabweichung ja als quadratisches Mittel berechnet wird, müsste ich dies in der Berechnung von Sigma(sigma) berücksichtigen?! Dann egalisiert sich allerdings immer der hintere Teil der folgenden Formel: $\begin{eqnarray} <br /> s^{2} = \frac{1}{n+m-1} \left(\left(n-1\right)s_{1}^{2}+\left(m-1\right)s_{2}^{2} + nx_{1}^{2} + mx_{2}^{2} - \left(n+m\right)x^{2}\right) <br /> \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} <br /> nx_{1}^{2} + mx_{2}^{2} - \left(n+m\right)x^{2} =0<br /> \end{eqnarray}$ Wo liegt mein Denkfehler? Ich hoffe, ihr könnt mir auf die Sprünge helfen. Danke dafür!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »