Empirische Varianz

09.02.2016, 13:41	MATHMeister81	Auf diesen Beitrag antworten »
Empirische Varianz Meine Frage: Hallo, ich habe eine Frage: Ich habe die empirische Varianz für eine Stichprobe von 9 Beobachtungen gegeben und ich habe die empirische Varianz für eine Stichprobe von 5 Beobachtungen gegeben. Es geht um das selbe Merkmal! Jetzt soll ich die empirische Varianz der Gesamtstichprobe ausrechen! Kann ich das einfach Anteilsmäßig addieren? Also ungefähr so: $\begin{eqnarray} \frac{\Im ^{2} 5+\Im ^{2}9 }{14} \end{eqnarray}$ oder ist das falsch? Meine Ideen: Oder gibt es irgendeine Formel?
09.02.2016, 14:23	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
In die empirische Varianz geht auch noch der Mittelwert der Stichprobe ein! Genauer gesagt: Wenn die erste Stichprobe aus den Werten $\begin{align} x_1,\ldots,x_n \end{align}$ und die zweite aus den Werten $\begin{align} x_{n+1},\ldots,x_{n+m} \end{align}$ besteht, dann gilt $\begin{align} s_1^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{k=1}^n (x_i-\bar{x}_1)^2 = \frac{1}{n-1} \left( \sum_{k=1}^n x_i^2 - n\bar{x}_1^2 \right) \end{align}$ mit $\begin{align} \bar{x}_1 = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_i \end{align}$ . $\begin{align} s_2^2 = \frac{1}{m-1} \sum_{k=n+1}^{n+m} (x_i-\bar{x}_2)^2 = \frac{1}{m-1} \left( \sum_{k=n+1}^{n+m} x_i^2 - m\bar{x}_2^2 \right) \end{align}$ mit $\begin{align} \bar{x}_2 = \frac{1}{m} \sum_{k=n+1}^{n+m} x_i \end{align}$ . Die Gesamtvarianz ist nun $\begin{align} s^2 = \frac{1}{n+m-1} \sum_{k=1}^{n+m} (x_i-\bar{x})^2 = \frac{1}{n+m-1} \left( \sum_{k=1}^{n+m} x_i^2 - (n+m)\bar{x}^2 \right) \end{align}$ mit $\begin{align} \bar{x} = \frac{1}{n+m} \sum_{k=1}^{n+m} x_i \end{align}$ . Zur Umrechnung: Es ist $\begin{align} (m+n)\bar{x} = \sum_{k=1}^{n+m} x_i = n\bar{x}_1 + m\bar{x}_2 \end{align}$ , also $\begin{align} \bar{x} = \frac{n\bar{x}_1 + m\bar{x}_2}{n+m} \end{align}$ . Und es ist $\begin{align} (n+m-1)s^2 + (n+m)\bar{x}^2 = \sum_{k=1}^{n+m} x_i^2 = (n-1)s_1^2 + n\bar{x}_1^2 + (m-1)s_2^2 + m\bar{x}_2^2 \end{align}$ Demnach ist umgestellt $\begin{align} s^2 &= \frac{1}{n+m-1} \left( (n-1)s_1^2 + (m-1)s_2^2 + n\bar{x}_1^2 + m\bar{x}_2^2 - (n+m)\bar{x}^2 \right)\\ &= \frac{1}{n+m-1} \left( (n-1)s_1^2 + (m-1)s_2^2 + \frac{nm}{n+m}\left( \bar{x}_1-\bar{x}_2\right)^2 \right) \end{align}$ Sind beide Mittelwerte gleich, d.h. $\begin{align} \bar{x}_1=\bar{x}_2 \end{align}$ , dann vereinfacht sich das ganze zu $\begin{align} s^2 = \frac{1}{n+m-1} \left( (n-1)s_1^2 + (m-1)s_2^2 \right) \end{align}$ , in deinem Fall $\begin{align} s^2 = \frac{1}{13} \left( 4s_1^2 + 8s_2^2 \right) \end{align}$ . P.S.: Diese Betrachtungen gehen davon aus, dass du (wie es sich normalerweise gehört) die korrigierte empirische Varianz verwendest.
14.02.2016, 14:26	MathMeister81	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Du hast mir sehr weitergeholfen! Wirklich gut erklärt!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »