Fourier-Reihe & das Integrationsintervall

09.02.2016, 15:07

Tergo7

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Fourier-Reihe & das Integrationsintervall

Hallo liebe Leute vom Matheboard,

habe eine Frage bezüglich der Bestimmung von Fourier-Reihen:

Generell gilt ja für die Berechnung von $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_0=\frac{2}{\pi} *\int_{0}^{\pi} \! f(t) \, dt \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{2}{\pi} *\int_{0}^{\pi} \! f(t)*cos(kt) \, dt \end{eqnarray*}$

Nun habe ich folgende Aufgabenstellung:

Berechnen Sie die Fourier-Reihe der Funktion f : (-pi,pi] gegeben durch:

f(t)=cos(t), $\begin{eqnarray*} \frac{-\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$
f(t)=0, sonst

Bedeuten diese Voraussetzungen nun für meine Integrale bei a0, ak, bzw. bk, dass ich nicht zweimal von 0 nach Pi integriere, sondern zweimal von 0 nach p/2, bzw. einmal von 0 nach Pi?

Vielen Dank im Voraus verwirrt

verwirrt

09.02.2016, 15:36

klarsoweit

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall

Zitat:

Original von Tergo7
Generell gilt ja für die Berechnung von $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_0=\frac{2}{\pi} *\int_{0}^{\pi} \! f(t) \, dt \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{2}{\pi} *\int_{0}^{\pi} \! f(t)*cos(kt) \, dt \end{eqnarray*}$

Da paßt irgendwas nicht. Welche Periode soll denn die Funktion f haben? Oder ist ggf. f eine gerade Funktion?

Zitat:

Original von Tergo7
Bedeuten diese Voraussetzungen nun für meine Integrale bei a0, ak, bzw. bk, dass ich nicht zweimal von 0 nach Pi integriere, sondern zweimal von 0 nach p/2, bzw. einmal von 0 nach Pi?

Erst mal ist $\begin{eqnarray*} a_k = \frac{1}{\pi} \cdot \int_{-\pi}^{\pi} \! f(t) \cdot cos(kt) \, dt \end{eqnarray*}$ .

In diesem Fall aufgrund der Definition von f: $\begin{eqnarray*} a_k = \frac{1}{\pi} \cdot \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \! f(t) \cdot cos(kt) \, dt \end{eqnarray*}$

Wenn nun f eine gerade Funktion ist, vereinfacht sich das noch etwas.

09.02.2016, 15:42

Tergo7

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a0 und ak gelten hier in den Formeln für Funktionen mit der Periode 2pi, bzw. von -pi bis pi. Dann darf man doch sowohl bei a0, als auch bei ak und bk 2 Mal von 0 bis pi integrieren, richtig?

Die Funktion, die hier zu berechnen ist, ist ungerade, also fallen ja a0 und ak sowieso weg, also bleibt nur noch bk übrig. Muss ich also bk nur noch berechnen, indem ich das Integral von -pi/2 bis +pi/2 setze oder darf ich auch 2 Mal das Integral von 0 bis +pi/2 berechnen?

Vielen Dank smile

smile

09.02.2016, 15:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von Tergo7
a0 und ak gelten hier in den Formeln für Funktionen mit der Periode 2pi, bzw. von -pi bis pi. Dann darf man doch sowohl bei a0, als auch bei ak und bk 2 Mal von 0 bis pi integrieren, richtig?

Nein, das ist falsch (zumindest in dieser allgemeinen Form).

Zitat:

Original von Tergo7
oder darf ich auch 2 Mal das Integral von 0 bis +pi/2 berechnen?

Ja, das ist ok. smile

smile

09.02.2016, 16:00

Tergo7

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Ohje, kannst du mir sagen, wie die Koeffizientenformeln dann richtig wären, bzw. wo mein Fehler liegt? geschockt

geschockt

Zu der Aufgabe: bk berechne ich nun wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\pi/2} * \int_{0}^{\pi/2} \! f(t) * sin(kt) \, dt \end{eqnarray*}$

Für bk erhalte ich dann: $\begin{eqnarray*} \frac{-8}{\pi} \end{eqnarray*}$

Meine Fourier-Reihe wäre dann:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } -\frac{8}{\pi} * sin(kt) \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

09.02.2016, 16:26

klarsoweit

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall
Die korrekten Formeln lauten (ich erwähnte es oben schon für a_k):

$\begin{eqnarray*} a_k = \frac{1}{\pi} \cdot \int_{-\pi}^{\pi} \! f(t) \cdot cos(kt) \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_k = \frac{1}{\pi} \cdot \int_{-\pi}^{\pi} \! f(t) \cdot sin(kt) \, dt \end{eqnarray*}$

Ist f gerade, vereinfacht sich das zu: $\begin{eqnarray*} a_k = \frac{2}{\pi} \cdot \int_{0}^{\pi} \! f(t) \cdot cos(kt) \, dt \end{eqnarray*}$

Ist f ungerade, vereinfacht sich das zu: $\begin{eqnarray*} b_k = \frac{2}{\pi} \cdot \int_{0}^{\pi} \! f(t) \cdot sin(kt) \, dt \end{eqnarray*}$

Ob deine Formel für das b_k stimmt, kann ich nicht sagen, da ich nichts über die Funktion f weiß. Das Ergebnis ist zumindest fragwürdig.

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09.02.2016, 16:42

Tergo7

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall
Die Aufgabe lautet wie folgt:

Berechnen Sie die Fourier-Reihe der Funktion f : (-pi,pi] --> R gegeben durch

f(t)=cos(t), $\begin{eqnarray*} \frac{-\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$
f(t)=0, sonst

Habe meinen Fehler gesehen und habe nun für bk Folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} b_k=\frac{-4}{\pi*(k^2-1)} \end{eqnarray*}$

09.02.2016, 17:03

klarsoweit

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall
Das ist aber keine ungerade, sondern eine gerade Funktion. Du mußt also die a_k berechnen. smile

smile

Zitat:

Original von Tergo7
Die Funktion, die hier zu berechnen ist, ist ungerade, also fallen ja a0 und ak sowieso weg, also bleibt nur noch bk übrig.

Ich hatte diesen Satz nicht auf die obige Aufgabe bezogen, sondern gedacht, es ginge nun um eine andere Funktion.

09.02.2016, 17:11

Tergo7

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall
Oh, da bin ich komplett durcheinander gekommen... Vielen Dank für die Hilfe bis hierher!

Für a0 erhalte ich nun 2/pi. Setze mich nun an ak.

09.02.2016, 17:21

Tergo7

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall
Für ak erhalte ich nun Folgendes:

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{4}{\pi*(k^2-1)} \end{eqnarray*}$

Soweit korrekt?

09.02.2016, 17:51

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall
Ich helf mal kurz aus.

Nein, diese Formel ist leider falsch. Wie hast Du da gerechnet?

Viele Grüße
Steffen

09.02.2016, 18:11

Tergo7

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall
Also zunächst $\begin{eqnarray*} a_k=\frac{2}{2/\pi} \int_{0}^{\pi/2} \! cos(t) * cos(kt) \, dt \end{eqnarray*}$

Dann

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{2}{2/\pi} \int_{0}^{\pi/2} \! 1/2 cos(t-kt) * cos(t+kt) \, dt \end{eqnarray*}$

Dann

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{2}{\pi} [\frac{sin(t-kt)}{1-k} + \frac{sin(t+kt)}{1+k}] \end{eqnarray*}$ Über pi/2 und 0

Dann

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\pi} * \frac{1+k + 1 -k}{k^2-1} \end{eqnarray*}$

09.02.2016, 18:18

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall
Bis
$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{2}{\pi} [\frac{sin(t-kt)}{1-k} + \frac{sin(t+kt)}{1+k}] \end{eqnarray*}$ Über pi/2 und 0

ist alles korrekt, aber beim Einsetzen

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{2}{\pi} [\frac{sin(\frac {\pi}2-k\frac {\pi}2)}{1-k} + \frac{sin(\frac {\pi}2+k\frac {\pi}2)}{1+k}] \end{eqnarray*}$

ist bei der Umformung irgendwas schiefgelaufen. Schau da noch mal nach.

09.02.2016, 18:25

Tergo7

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall
Pi/2 und 0 eingesetzt müsste Folgendes ergeben:

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{2}{\pi} [\frac{1}{1-k} + \frac{1}{1+k} - 0 + 0] \end{eqnarray*}$

Oder nicht?

09.02.2016, 20:02

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall
Nein, wie geschrieben. Die beiden Sinusterme in den Zählern ergeben doch nicht jeweils einfach Eins!

10.02.2016, 10:06

klarsoweit

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall

Zitat:

Original von Tergo7
Also zunächst $\begin{eqnarray*} a_k=\frac{2}{2/\pi} \int_{0}^{\pi/2} \! cos(t) * cos(kt) \, dt \end{eqnarray*}$

Auch wenn später mit der korrekten Formel gerechnet wurde, muß es (wenn ich mich nicht irre) so heißen:

$\begin{eqnarray*} a_k = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi/2} \! cos(t) \cdot cos(kt) \, dt \end{eqnarray*}$

10.02.2016, 11:37

Tergo7

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall
Steht bei a0, ak und bk immer am Anfang der Formel 2 durch Pi? Ich dachte, das hängt davon ab, wie mein Integral aussieht. Sprich: wenn ich von 0 bis pi/2 integriere steht unter meinem Bruch am Anfang 2 durch pi/2. Oder vertu ich mich grad?

@Steffen Bühler, ich dachte die Sinus-Termine ergeben eins, weil Sinus von Pi/2 eins ergibt. geschockt

geschockt

10.02.2016, 11:40

klarsoweit

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall

Zitat:

Original von Tergo7
Steht bei a0, ak und bk immer am Anfang der Formel 2 durch Pi? Ich dachte, das hängt davon ab, wie mein Integral aussieht. Sprich: wenn ich von 0 bis pi/2 integriere steht unter meinem Bruch am Anfang 2 durch pi/2. Oder vertu ich mich grad?

Ich dachte, das Thema wäre schon fertig diskutiert. Siehe hier:

Zitat:

Original von klarsoweit
Die korrekten Formeln lauten (ich erwähnte es oben schon für a_k):

$\begin{eqnarray*} a_k = \frac{1}{\pi} \cdot \int_{-\pi}^{\pi} \! f(t) \cdot cos(kt) \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_k = \frac{1}{\pi} \cdot \int_{-\pi}^{\pi} \! f(t) \cdot sin(kt) \, dt \end{eqnarray*}$

Ist f gerade, vereinfacht sich das zu: $\begin{eqnarray*} a_k = \frac{2}{\pi} \cdot \int_{0}^{\pi} \! f(t) \cdot cos(kt) \, dt \end{eqnarray*}$

Ist f ungerade, vereinfacht sich das zu: $\begin{eqnarray*} b_k = \frac{2}{\pi} \cdot \int_{0}^{\pi} \! f(t) \cdot sin(kt) \, dt \end{eqnarray*}$

10.02.2016, 11:46

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall
... und als Ergänzung: es ist egal, ob was im Integral selber passiert (also wie oft es da Null ist): es wird immer auf eine Periode bezogen. Daher ist der Faktor davor konstant.

Da Du mich wegen der Sinusterme ansprichst: da steht nun mal nicht einfach $\begin{align*} \sin \left( \frac {\pi}2 \right) \end{align*}$ , sondern eben $\begin{align*} \sin \left( \frac {\pi}2 \pm k \cdot \frac {\pi}2 \right) \end{align*}$ . Und da kommt's aufs k an, was der Sinus ergibt.

Ansonsten ziehe ich mich jetzt wieder aus klarsoweits Thread zurück.

10.02.2016, 15:36

Tergo7

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall
Okay, Danke nochmal für die Erläuterung Freude

Freude

Also bedeutet es, dass der Faktor vorher immer durch Pi teilt, richtig? Und nur die Integralgrenzen sind abhängig von der Aufgabenstellung?
Könnt ihr mir bei der Berechnung von dem Sinus-Term mit k aushelfen? Weiß leider nicht weiter geschockt

geschockt

Noch eine andere Frage: wenn in der Aufgabenstellung zwei Funktionen gegeben sind (hier ist es ja cos(t) und 0), also z.B. cos(t) für pi bis -pi und sin(t), sonst: was bedeutet dies für meine Fourier-Reihe?

10.02.2016, 15:47

klarsoweit

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall

Zitat:

Original von Tergo7
Also bedeutet es, dass der Faktor vorher immer durch Pi teilt, richtig? Und nur die Integralgrenzen sind abhängig von der Aufgabenstellung?

Das Integral geht immer über eine volle Periode. Der Faktor vor dem Integral ist immer $\begin{eqnarray*} \frac 2 P \end{eqnarray*}$ , wobei P die Länge der Periode ist. Je nach speziellen Eigenschaften der Funktion kann man das Integral auf Unterintervalle reduzieren.

Zitat:

Original von Tergo7
Könnt ihr mir bei der Berechnung von dem Sinus-Term mit k aushelfen? Weiß leider nicht weiter geschockt

geschockt

Nun ja, da würde ich erst mal mit den allgemein bekannten Additionstheoremen drangehen. smile

smile

Zitat:

Original von Tergo7
Noch eine andere Frage: wenn in der Aufgabenstellung zwei Funktionen gegeben sind (hier ist es ja cos(t) und 0), also z.B. cos(t) für pi bis -pi und sin(t), sonst: was bedeutet dies für meine Fourier-Reihe?

Da verstehe ich nicht den Hintergrund der Frage. Man berechnet die Fourierkoeffizienten immer mit derselben Formel.

10.02.2016, 16:06

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall
Doch noch mal kurz ...

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Tergo7
Könnt ihr mir bei der Berechnung von dem Sinus-Term mit k aushelfen? Weiß leider nicht weiter geschockt

geschockt

Nun ja, da würde ich erst mal mit den allgemein bekannten Additionstheoremen drangehen.

... oder ausnutzen, dass $\begin{align*} \sin \left( \frac {\pi}2 + x \right) = \sin \left( \frac {\pi}2 - x \right) = \cos (x) \end{align*}$ .

Viele Grüße
Steffen

10.02.2016, 17:31

Tergo7

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall
Mit den Additionstheoremen hatte ich es ausprobiert nach dem Schema:

sinus(x+y)=sinus(x)*cos(y)+sinus(y)*cos(x). Nach meiner Rechnung werden allerdings trotzdem beide Terme 1 verwirrt

verwirrt

Was mache ich da falsch? Sinus (pi/2 * k) ist bei mir glaube ich einfach nicht korrekt berechnet verwirrt

verwirrt

Also wenn ich zwei Funktionen als Aufgabenstellung habe, berechne ich ja getrennt voneinander jeweils die Fourier-Koeffizienten. Dann erhalte ich also für beide Funktionen eine eigene Fourier-Reihe, richtig?

@Steffen Bühler, das war mir so noch gar nicht bekannt. Gilt das auch für sinus(pi/2 + k*pi/2)=cos(Pi/2)?

10.02.2016, 18:01

Tergo7

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall
Moment: sinus(pi/2*k) ist 1^k, richtig?

10.02.2016, 19:50

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall
Dann mach ich mal weiter.

$\begin{eqnarray*} 1^k=1, k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ sollte Deine letzte Frage beantworten.

Und was

Zitat:

sinus(pi/2 + k*pi/2)=cos(Pi/2)

betrifft, fehlt noch das k im Argument des Cosinus, dann stimmt's.

Kannst Du denn sagen, welche Werte ein Cosinus für ganzzahlige Vielfache von pi/2 annimmt? Dann solltest Du weiterkommen. Eventuell hilft dieser Graph:

11.02.2016, 08:18

klarsoweit

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall

Zitat:

Original von Tergo7
Moment: sinus(pi/2*k) ist 1^k, richtig?

Das ist zwar falsch, aber für die weitere Rechnung nicht von Belang. (Teste mal k=2. smile

smile

)

11.02.2016, 12:32

Tergo7

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall
Habe jetzt gemerkt, wie ich mir sin(pi/2+pi/2*k)=cos(pi/2*k) herleite (Additionstheoreme).
Bleibt: cos(pi/2*k). Muss dann hier eine Fallunterscheidung stattfinden? Schließlich kommt ja für gerade Zahlen mit k für Cosinus -1 heraus und für ungerade Zahlen für Cosinus 0 heraus. Dann muss ich ausschließlich mit geraden Zahlen arbeiten, richtig? Also k=2l setzen?

11.02.2016, 13:09

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall
Dass Sinus und Cosinus um $\begin{align*} \frac {\pi}2 \end{align*}$ verschoben sind, ist auch ohne Additionstheoreme bekannt. Aber egal, so hast Du es ja nun korrekt umgeformt.

Ja, vom Fall k=1 abgesehen, besteht diese Fourierreihe nur aus geraden k. Es ist allerdings falsch, dass $\begin{align*} \cos \left( \frac {\pi}2 \cdot 2 \cdot l \right) = 1 \end{align*}$ für alle ganzzahligen l. Schau Dir noch mal den Graphen an den entsprechenden Stellen an.

Und über k=1 unterhalten wir uns dann anschließend.

11.02.2016, 13:33

Tergo7

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall
Stimmt, ich bin davon ausgegangen, dass cos(pi/2*2l) immer 1 ergibt, aber es divergiert ja zwischen 1 und -1. Bleibt cos(pi/2*2l) am Ende dann einfach in meinem Koeffizienten bestehen, oder wie fahre ich fort?

11.02.2016, 13:37

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall
Nun, sowas machen die Fourier-Leute gerne mit einem Term der Art $\begin{align*} (-1)^n \end{align*}$ . Sieht schöner aus als der Cosinus, der aber theoretisch genauso richtig ist.

11.02.2016, 13:57

Tergo7

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall
Danke für den Hinweis!

Mein ak ist nun:

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{2}{\pi } *\frac{(-1)^k }{k^2-1} \end{eqnarray*}$

11.02.2016, 14:48

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall
Die ungeradzahligen k ergeben hier aber nicht Null!

Machen wir's mal langsam:

$\begin{align*} \cos \left( \frac {\pi}2 \cdot 0 \right) = 1 \end{align*}$

$\begin{align*} \cos \left( \frac {\pi}2 \cdot 1 \right) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \cos \left( \frac {\pi}2 \cdot 2 \right) = -1 \end{align*}$

$\begin{align*} \cos \left( \frac {\pi}2 \cdot 3 \right) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \cos \left( \frac {\pi}2 \cdot 4 \right) = 1 \end{align*}$

Und so weiter. Nun versuch das mal mit einem entsprechenden Term für $\begin{align*} \cos \left( \frac {\pi}2 \cdot k \right) \end{align*}$ auszudrücken.

11.02.2016, 15:09

Tergo7

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall
Ich glaube, dann habe ich das mit (-1)^n falsch verstanden. Ich dachte es wäre:

cos(pi/2*k)=(-1)^k, weil ich ja k=1,3,5,... ausgeschaltet habe.

11.02.2016, 15:23

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall
Ach, so meinst Du das. Dann musst Du das allerdings auch erwähnen, dass für k nur 2;4,6... eingesetzt werden darf und die anderen ak auf Null stehen.

Allerdings stimmt's dann auch noch nicht ganz. Du hast nämlich beim Umformen von $\begin{align*} a_k=\frac{2}{\pi} \cdot \left( \frac{ \cos \left( \frac {\pi}2 \cdot k \right)}{1-k} + \frac{ \cos \left( \frac {\pi}2 \cdot k \right)}{1+k} \right) \end{align*}$ einen Vorzeichenfehler gemacht. Schau Dir das noch mal an.

Und, wie gesagt, a1 ist hier nicht Null, sondern...

11.02.2016, 15:38

Tergo7

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall
Wäre das denn die richtige Antwort in der Klausur, wenn ich den Schritt mit (-1)^k gehe und dann am Rand deklariere, dass es nur für ganzzahlige gilt? Oder am Besten k noch =2l setzen?

Bei meiner Umformung fällt mir ehrlich gesagt kein Fehler auf grad. Wenn ich von der letzten ak-Formel ausgehe, die du gepostet hast, habe ich nur noch cos(pi/2*k) mit (-1)^k ersetzt und beide Brüche mit jeweils dem anderen Nenner multipliziert. Im Nenner steht dann dementsprechend k^2-1 und im Zähler (-1)^k*(1+k)+(-1)^k*(1-k). Im Zähler (-1)^k ausgeklammert (was dann gegen (1+k+1-k) multipliziert, wovon dann nur noch 2 erhalten bleibt). Das war's eigentlich verwirrt

verwirrt

11.02.2016, 15:53

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall

Zitat:

Original von Tergo7
Wäre das denn die richtige Antwort in der Klausur, wenn ich den Schritt mit (-1)^k gehe und dann am Rand deklariere, dass es nur für ganzzahlige gilt?

Falls Du "geradzahlig" statt "ganzzahlig" meinst, wäre der Ansatz $\begin{align*} a_k = (-1)^{ \frac k2} \cdot \dots \end{align*}$

Zitat:

Original von Tergo7
Oder am Besten k noch =2l setzen?

Das wäre weniger Schreibarbeit, muss aber nicht unbedingt sein.

Zitat:

Original von Tergo7
Im Nenner steht dann dementsprechend k^2-1

Eben nicht. (1-k)(1+k)=...

11.02.2016, 16:17

Tergo7

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall
Wow, schon wieder so'n blöder Flüchtigkeitsfehler...
Der Nenner ist natürlich 1-k^2..

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{2}{\pi}*\frac{(-1)^(2l)}{1-(2l)^2} \end{eqnarray*}$

2l ist natürlich der Exponent (sieht nur komisch aus Big Laugh

Big Laugh

)

Dann wäre meine Fourier-Reihe:

$\begin{eqnarray*} F=\frac{1}{\pi } + \sum\limits_{l=1}^{\infty} \frac{2}{\pi}*\frac{(-1)^(2l)}{1-(2l)^2}*cos(2l*t) \end{eqnarray*}$

11.02.2016, 16:34

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall

Zitat:

Original von Tergo7
2l ist natürlich der Exponent (sieht nur komisch aus Big Laugh

Big Laugh

)

Das Komische könnte man durch geschweifte Klammern in LaTeX beheben. Aber er ist auch noch falsch, denn $\begin{align*} (-1)^{2 \cdot l} \end{align*}$ ist immer Eins, da alterniert nichts, denn der Exponent ist ja immer gerade. Aber Du bist nah dran, denk noch mal nach. Der Rest der Reihe stimmt, bis eben auf a1. Hast Du dafür schon einen Wert?

11.02.2016, 16:47

Tergo7

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall
a1 müsste im Prinzip 0 sein, oder?

11.02.2016, 17:10

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe & das Integrationsintervall
Ich weiß nicht, welches Prinzip Du meinst, aber a1 ist, wie bereits geschrieben, nicht Null. Hier ist Deine Funktion bis a6, wenn das der Fall wäre:

Und die wird sich mit höheren Harmonischen auch nicht mehr ändern!

Nein, a1 musst Du über eine Grenzwertbetrachtung berechnen. Nimm also den Cosinusterm und lass k gegen Eins gehen.

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