Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) um F'(x) herauszufinden

09.02.2016, 16:08

laa_f

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) um F'(x) herauszufinden

Meine Frage:
Hi, ich habe auf meinem Übungsblatt eine Aufgabe, die mich etwas verwirrt. Ich soll den ersten Teil des HDI benutzen, um F'(x) zu bestimmen.

"Wenn f integrierbar auf [a,b] und stetig auf c aus [a,b] und F(x) = $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{x} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ , dann gilt F'(c) = f(c)."

Die einzeln Teilaufgaben ähneln sich darin, dass jede Stammfunktion definiert ist durch F(x) = $\begin{eqnarray*} \int_{n}^{m} \! e^{-t^{2}} \, dt \end{eqnarray*}$ . Verändern tun sich nur die Integralgrenzen n, m sowie das Intervall...

...so ist beispielweise in a) n=0 und m=x $\begin{eqnarray*} \forall x \in \left[0, 2\right] \end{eqnarray*}$ ,
in c) n=x und m=1 $\begin{eqnarray*} \forall x \in \left[0, 1\right] \end{eqnarray*}$ oder
in d) n=0 und m=2x $\begin{eqnarray*} \forall x \in \left[0, 2\right] \end{eqnarray*}$ .
Teilaufgabe e) ist dasselbe Integral wie in a), nur quadriert.

Meine Ideen:
Zuerst dachte ich, F'(x) muss $\begin{eqnarray*} e^{-t^{2}} \end{eqnarray*}$ sein.

Dies ist aber wohl laut Definition des HDI nur in den ersten zwei Teilaufgaben der Fall, da sie x als obere Intervallgrenze haben.

Für c) dachte ich mir, dass ich vielleicht einfach die Grenzen tausche und die Funktion negativ mache (letzteres habe ich im Internet gefunden, da ich so etwas noch nie gemacht habe...)?!

Auch für die d) dachte ich, dass ich die obere Grenze von 2x wohl zu x ändern muss, weiß aber nicht wie.

Bei der letzen Aufgabe habe ich aber nicht mal eine Idee, wie ich ansetzen sollte.

Was mich etwas stutzen lässt ist, dass der Dozent als Tipp zur Aufgabe geschrieben hat, dass die Lösung kurz sein und nicht viel Zeit in Anspruch nehmen sollten. Vielleicht denke ich zu kompliziert?

Vielen Dank für alle Hilfestellungen und Anregungen!

09.02.2016, 16:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von laa_f
Die einzeln Teilaufgaben ähneln sich darin, dass jede Stammfunktion definiert ist durch F(x) = $\begin{eqnarray*} \int_{n}^{m} \! e^{-t^{2}} \, dt \end{eqnarray*}$ . Verändern tun sich nur die Integralgrenzen n, m sowie das Intervall...

...so ist beispielweise in a) n=0 und m=x $\begin{eqnarray*} \forall x \in \left[0, 2\right] \end{eqnarray*}$ ,
in c) n=x und m=1 $\begin{eqnarray*} \forall x \in \left[0, 1\right] \end{eqnarray*}$ oder
in d) n=0 und m=2x $\begin{eqnarray*} \forall x \in \left[0, 2\right] \end{eqnarray*}$ .
Teilaufgabe e) ist dasselbe Integral wie in a), nur quadriert.

Wenn man denn wüsste, über welche Teilaufgaben du hier redest, dann könnte man auch etwas zu diesen Gedanken sagen. So bleibt nur ein Schulterzucken.

EDIT: Ah Ok, jetzt verstehe ich erst: Du sollst jeweils $\begin{align*} F'(x) \end{align*}$ berechnen, und $\begin{align*} F(x) \end{align*}$ hat in a)..d) jeweils dieselbe Integralstruktur, nur mit verschiedenen Grenzen. Das hättest du aber wirklich etwas deutlicher machen können - durch das Einfügen des Tipps mitten in die Aufgabenstellung hast du die logischer Struktur derselben zusätzlich ziemlich gestört. unglücklich

Zitat:

Original von laa_f
Teilaufgabe e) ist dasselbe Integral wie in a), nur quadriert.

Was genau ist "quadriert" ? Wirklich das Integral? Oder nur die obere Grenze, d.h. $\begin{align*} x^2 \end{align*}$ ? Drück dich mal präziser aus.

09.02.2016, 16:38

laa_f

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Oh, das tut mir Leid, dass es so verwirrend rüberkommt...

Die e) ist wie gesagt dasselbe Integral nur quadriert:

F(x) = $\begin{eqnarray*} \left(\int_{0}^{x} \! e^{-t^{2}} \, dx\right) ^{2} \forall x\in \left[0, 2\right] \end{eqnarray*}$

09.02.2016, 17:29

HAL 9000

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Zusätzliche Verwirrung ist dadurch entstanden, weil du den Terminus "Stammfunktion" gebraucht hast - der ist hier völlig unangebracht. Die F's in a)c)d) sind jeweils bestimmte Integrale, aber doch keine Stammfunktionen. unglücklich

Es ist eher so: Mit (!) einer beliebigen Stammfunktion $\begin{align*} G(t) \end{align*}$ von $\begin{align*} g(t) = e^{-t^2} \end{align*}$ , d.h. einer Funktion mit der Eigenschaft $\begin{align*} G'=g \end{align*}$ , können die Funktionen in a)..d) laut HDI so geschrieben werden

$\begin{align*} F_a(x) &= G(x)-G(0)\\ F_c(x) &= G(1)-G(x)\\ F_d(x) &= G(2x)-G(0) \end{align*}$ .

Und jetzt jeweils nach $\begin{align*} x \end{align*}$ ableiten, dabei die Kettenregel sowie das erwähnte $\begin{align*} G'=g \end{align*}$ beachten.

09.02.2016, 17:49

laa_f

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Ok, sorry.

Das mit dem ("obere Grenze" - "untere Grenze") hatten wir jedoch als zweiten Teil des HDI definiert, der erst in der nächsten Aufgabe gefragt ist.

Gibt aber wohl keine andere Möglichkeit?

Wie ich die Stammfunktion von e^(-t^2) berechne, bin ich mir auch nicht sicher... Komme da nicht so recht auf ein Ergebnis

09.02.2016, 20:15

laa_f

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Danke für die Hilfe Wink

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