Randpunkte |
| 09.02.2016, 19:10 | liselotte 99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Randpunkte Hallo zusammen, ich lerne gerade fürs Abitur und komme nicht so wirklich weiter. Bei der Bestimmung von Extrema haben wir manchmal die Randpunkte betrachtet und manchmal nicht. Bin jetzt irgendwie verunsichert. Meine Ideen: Aber eigentlich muss ich doch IMMER die Randpunkte betrachten, wenn ich ein Intervall angegeben habe, oder? Wenn nicht, dann bestimme ich die Extrema ja "automatisch" mit meinen Ableitungen, oder? DANKE |
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| 09.02.2016, 21:22 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mittels der Ableitung werden relative Extrema berechnet, das sind Extremwerte in einer begrenzten (kleinen) Umgebung der Extremstellen. Soll die Funktion auf Extrema (von Funktionswerten) im gesamten Definitions-Intervall untersucht werden (globale Extremwerte), so müssen die Funktionswerte an den Rändern des Intervalls (Randextrema) berechnet und verglichen werden. In dem o.s. Graphen sind sowohl relative als auch Randextrema (Intervall [0;10] ersichtlich. mY+ |
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| 09.02.2016, 21:32 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig, denn mittels f '(x)=0 in Kombination mit f ''(x)<0 bzw. f ''(x)>0 kriegst du ja nur die lokalen Extrema raus. Das sind demnach nur die höchsten oder niedrigsten Punkte in einer bestimmten Umgebung. Es könnte jedoch ebenso noch Punkte an den besagten Rändern des Intervalls geben, die eben noch höher bzw. niedriger liegen. Zu beachten ist dabei unbedingt, dass man im Falle eines gegebenen Graphen, dann nicht einfach so argumentiert a la "Am rechten Rand des Intervalls liegt das globale Maximim vor, siehe Graph" sondern am Ende brav sowohl die Extremstellen, so wie den linken und rechten Rand in die Ausgangsfunktion einsetzt und dann eben schaut, welcher y-Wert dann am größten bzw. am kleinsten ist. Analog muss man übrigens vorgehen, wenn man wissen will, wo denn die Steigung des Graphen maximal oder minimal ist. Nur setzt man da die entsprechende Werte am Ende vergleichend nicht in die Ausgangsfunktion sondern in die 1. Ableitung ein.
Wenn kein beschränktes Intervall gegeben ist, dann ist es bei den typischen Funktionen in der Schule (wie z.B. ganzrationale Funktionen und zusammengesetzten e-Funktionen) eben so, dass man z.B. das Verhalten im Unendlichen noch mit einbezieht (je nach Definitionsbereich der Funktion). Wenn ein Graph "von unten kommt und nach oben geht", wie es bei ganzrationalen Funktionen mit ungeradem Grad der Fall sein kann, dann macht es keinen Sinn nach dem globalen Maximum zu fragen, da die y-Werte ja unendlich groß bzw- unendlich klein werden. Da wird/sollte dann auch klar formuliert sein, dass man die lokalen Extrema bestimmen soll. Wenn der Grad einer ganzrationalen Funktion gerade ist (Funktion 2. Grades oder 4. Grades oder...), dann könnte es schon Sinn machen, nach möglichen globalen Extrema zu fragen, denn... |
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| 09.02.2016, 21:33 | liselotte 99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für deine Antwort. Aber wenn ich kein Intevall angegeben habe, dann bestimme ich doch mit der notwendigen und hinreichenden Bedingung notwenigerweise die Extrema, oder? Ohne Intervall hätte ich ja eigentlich gar keine Ränder zum prüfen, oder? Obwohl es bei deiner Funktion schwer wäre, im Sachzusammenhang beispielsweise die höchste Besucherzahl zu messen, da die Funktion bei plus unendlich gegen plus unendlich strebt. Für so einen Sachzusammenhang müsste dann notwendigerweise ein INtervall angegeben werden, oder? |
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| 09.02.2016, 22:03 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig. Gibt's kein Intervall, dann auch keine Ränder! 
-------- Im Sachzusammenhang (z.B. Besucheranzahl, Zeitdauer) kann sich das Intervall aus sinnvollen Beschränkungen ergeben, z.B. daraus, dass es nur positive Funktionswerte geben kann, usw. mY+ |
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| 09.02.2016, 22:21 | liselotte 99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ah, ok, super... DANKE DANKE... 
Und wenn ich jetzt beispielsweise die stärkste Wachstumsrate betrachte, dann muss ich doch den Wendepunkt suchen, oder? 2. Abl. gleich 0 3. Abl. ungleich 0 und dann muss ich noch schauen, welche stelle das ist. Das mache ich mit der 1. oder der 3. ABleitung, oder? Bei der 1. Ableitung an der Wendestelle: f´(x) < 0 also ein HP der 1. Ableitung bedeutet eine stärkste Abnahme der Steiung. f´(x) > 0 bedeutet, ein TP der 1. Ableitung, also die stärkste Zunahme der normalen Funktion, oder? Kann ich das auch mit der 3. Ableitung begründen, ob sie positiv oder negativ an der Wendestelle ist? Tausend millionen DAnk.. |
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| 10.02.2016, 00:15 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Stelle kriegst du doch eh, wenn du die 2. Abl. Null setzst! Aber die 3. Abl. (ggf. eine weitere ungeradzahlige Abl.) muss tatsächlich ungleich Null sein. Und ja, mittels der 1. Abl. schaut man, ob die Funktion dort monoton steigend oder fallend ist. f '(x) > 0 bedeutet (im WP), dass dort die stärkste Zunahme stattfindet, das bedeutet aber NICHT einen TP der 1. Abl. Die 3. Ableitung ist am Wendepunkt negativ, wenn die Funktion dort steigend ist. [attach]40830[/attach] mY+ |
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